Rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Uvažujme dvě funkce $f(x),g(x)$, které jsou definovány na nějaké množině $D$, pak nalezení všech $x\in D$, která splňují rovnost

$f(x)=g(x)$

se nazývá rovnicí o jedné neznámé $x$. Funkce $f(x)$ se nazývá levá strana rovnice a $g(x)$ se nazývá pravá strana rovnice.

Obsah [skrýt] 1 Kořeny rovnice 1.1 Triviální řešení 2 Ekvivalentní rovnice 3 Zkouška 4 Rovnice o více neznámých 5 Algebraické a nealgebraické rovnice 5.1 Homogenní rovnice 6 Další druhy rovnic 7 Související články

Kořeny rovnice

Každé číslo $x_0\in D$, které vyhovuje vztahu $f(x_0)=g(x_0)$, se nazývá kořen rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako řešení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v $D$, nazývá se řešitelná v $D$, pokud žádný kořen v $D$ nemá, říkáme, že rovnice je v $D$ neřešitelná. Pokud je rovnice $f(x)=g(x)$ splněna pro všechna $x\in D$, jde o identitu, což značíme

$f(x)\equiv g(x)$

Triviální řešení

Řešení, které je identicky rovno nule, se označuje jako triviální. Pokud řešení rovnice není identicky rovno nule, hovoří se o netriviálním řešení. V mnoha případech přímo součástí zadání problému požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení. Např. triviálním řešením diferenciální rovnice

$y^{\prime }=y$

je

$y=0$,

což je funkce identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar

$y={\mathrm{e}}^x$,

což je exponenciální funkce. Jiným příkladem je tzv. Velká Fermatova věta, která hledá netriviální řešení rovnice $a^n+b^n=c^n$ pro $n>2$. Triviálním řešením by v tomto případě bylo $a=b=c=0$, což platí pro libovolné $n$. Podobně je triviálním řešením $a=1,b=0,c=1$. Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.

Ekvivalentní rovnice

Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice $f_1(x)=g_1(x),f_2(x)=g_2(x)$, pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ekvivalentní. Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:

• přičtení (nebo odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn. $f(x)+a=g(x)+a$ je ekvivalentní rovnicí s rovnicí $f(x)=g(x)$
• vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn. $af(x)=ag(x)$ je ekvivalentní rovnicí s rovnicí $f(x)=g(x)$

Rovnici $f(x)=g(x)$ je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar

$F(x)=f(x)-g(x)=0$

Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést zkoušku.

Zkouška

Po nalezení řešení rovnice provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.

Rovnice o více neznámých

Rovnice o $n$ neznámých má tvar

$F(x_1,x_2,...,x_n)=0$

Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámě $F(x)=0$, přičemž řešením rovnice o $n$ neznámých jsou n-tice $(x_1,x_2,...,x_n)$.

Algebraické a nealgebraické rovnice

Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (též označované jako polynomiální rovnice) a nealgebraické rovnice (též transcendentní rovnice). Jako algebraickou rovnici $n$-tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0=0$,

kde levou stranu rovnice tvoří polynom $n$-tého stupně s $a_n\ne 0$, přičemž se předpokládá, že $n\ge 1$. Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické. Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy řešitelné analyticky, v algebře se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat numericky. Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří lineární rovnice $(n=1)$, kvadratická rovnice $(n=2)$, kubická rovnice $(n=3)$ a kvartická rovnice $(n=4)$. Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice. Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má každý polynom s komplexními koeficienty stupně $n\ge 1$ alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností polynomů. Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

Homogenní rovnice

Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako homogenní, pokud mají všechny její členy stejný stupeň. Např. $3x^{2}y+3x^3+2y^3-5x{y}^2=0$ je homogenní rovnice třetího stupně. Homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru $f(x)=0$, kde $f(x)$ je homogenní funkce.

Další druhy rovnic

Rovnice obsahující derivace označujeme jako diferenciální. Rovnice obsahující integrály označujeme jako integrální. Rovnice obsahující diference proměnných označujeme jako diferenční.

Související články

• Algebra
• Nerovnice
• Soustava rovnic

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii