Exponenciální rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Exponenciální rovnice má neznámou v exponentu (mocniteli). ^[1][2]

Příklad exponenciální rovnice:

$2^{3-x}=4^{2-x}$

Obsah [skrýt] 1 Řešení exponenciální rovnice 1.1 Stejné základy 1.2 Logaritmování 1.3 Substituce 2 Související články 3 Reference 4 Externí odkazy

Řešení exponenciální rovnice

Stejné základy

V případě, že máme na obou stranách stejné základy mocniny (mocněnce), jde o nejjednodušší způsob řešení exponenciální rovnice.

Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:

1. $2^{3-x}=4^{2-x}$
2. Základ 4 se dá napsat jako $2^2$
   $2^{3-x}=2^{2(2-x)}$
3. Nyní máme stejné základy na obou stranách rovnice, takže to lze napsat následovně:
   $3-x=2(2-x)$
4. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
   $3-x=4-2x$
5. $-x+2x=4-3$
6. $x=1$
   Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí stejného základu.

Logaritmování

V případě, že nemáme mít na obou stranách stejné základy, se rovnice řeší zlogaritmováním.

Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:

1. $2^{3-x}=4^{2-x}$
2. Zlogaritmujeme rovnici:
   $\log 2^{3-x}=\log 4^{2-x}$
3. Využijeme větu o logaritmech – přesuneme exponenty před logaritmus:
   $(3-x)\cdot \log 2=(2-x)\cdot \log 4$
4. Vynásobíme závorky s logaritmem:
   $3\cdot \log 2-x\cdot \log 2=2\cdot \log 4-x\cdot \log 4$
5. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
   $-x\cdot \log 2+x\cdot \log 4=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2$
6. Vytkneme x:
   $x\cdot (-\log 2+\log 4)=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2$
7. Připravíme si rovnici k vyřešení a dopočítáme:
   $x=\frac{2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}{-\log 2+\log 4}=\frac{\log 4^2-\log 2^3}{-\log 2+\log 4}=\frac{\log 16-\log 8}{-\log 2+\log 4}$
8. Řešení rovnice je:
   $x=1$
   Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí logaritmu.

Substituce

Řešit exponenciální rovnici lze také pomocí substituce.

Příklad postupu řešení:

1. $2^{2x}+2^x-6=0$
2. Zavedeme substituci $a=2^x$:
   $a^2+a-6=0$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   $a_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}$
   
   $a_1=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$
   
   $a_2=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. $2=2^x$
   2. $-3=2^x$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. $2=2^x$
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo $2$ se dá napsat jako $2^1$:
         $2^1=2^x$
      2. $1=x$
      3. Výsledek je:
         $x=1$
         Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
   2. $-3=2^x$
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.

Související články

• Umocňování
• Logaritmus
• Substituce (matematika)
• Vytýkání
• Rovnice
• Lineární rovnice
• Kvadratická rovnice
• Kubická rovnice
• Kvartická rovnice
• Binomická rovnice

Reference

1. ↑ Exponenciální rovnice - teorie a řešené příklady.  [cit. 2012-02-09]. Dostupné online.

    

2. ↑ Exponenciální rovnice - teorie a řešené příklady.  [cit. 2012-02-09]. Dostupné online.

    

Externí odkazy

• Exponenciální rovnice – řešené příklady
• Exponenciální rovnice – řešené příklady
• Exponenciální rovnice – řešené příklady

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii