dokončit zcela nový balíček 1 000 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...

Základní věta algebry
Z Multimediaexpo.cz
Základní věta algebry (též označovaná jako Fundamentální věta algebry[1]) je důležité matematické tvrzení, které má fundamentální význam v algebře, ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý polynom s komplexními koeficienty stupně
Obsah[skrýt] |
Přesné znění
Nechť
Důkazy
Ačkoli je základní věta algebry čistě algebraickým tvrzením, není dosud znám žádný čistě algebraický důkaz. Všechny známé důkazy této věty využívají více či méně metod matematické analýzy.
Komplexně analytický důkaz
Základní věta algebry je snadným důsledkem Liouvillovy věty z komplexní analýzy:
- (Věta Liouville) Je-li f holomorfní omezená funkce na
, pak f je konstantní.
Dále dokazujme sporem. Nechť nějaký polynom P(x) s komplexními koeficienty a nenulového stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce g(x) daná předpisem
Důsledky
- Těleso komplexních čísel je algebraicky uzavřené.
- Polynom s komplexními koeficienty stupně
má v komplexní rovině právě n kořenů (počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost). - Každý polynom s reálnými koeficienty lze zapsat jako součin konstanty, a monických ireducibilních polynomů (v
) stupňů jedna a dva. - Každou racionální funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků.
Související články
Reference
- ↑ P. Olšák, Úvod do algebry, zejména lineární, 2007, FEL ČVUT Praha, ISBN 978-80-01-03775-1
- A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1ère partie: Analyse Algébrique, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-053-5
- B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, 1997, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94657-8
- C. F. Gauss, “New Proof of the Theorem That Every Algebraic Rational Integral Function In One Variable can be Resolved into Real Factors of the First or the Second Degree”, 1799
- C. Gilain, “Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral”, Archive for History of Exact Sciences, 42 (1991), 91–13
- H. Kneser, “Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus”, Mathematische Zeitschrift, 46 (1940), 287–302, podívejte se také na: M. Kneser: “Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra”, Mathematische Zeitschrift, 177 (1981) 285–287
- E. Netto and R. Le Vavasseur, “Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental”, in Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-101-9
- R. Remmert, “The Fundamental Theorem of Algebra”, v Numbers, 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97497-0
- D. E. Smith, “A Source Book in Mathematics”, 1959, Dover Publications, ISBN 0-486-64690-4
- M. Spivak, Calculus, 1994, Publish or Perish, ISBN 0-914098-89-6
- B. L. van der Waerden, Algebra I, 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97424-5
Externí odkazy
- Soubor důkazů základní věty algebry (anglicky)
- Základní věta algebry v encyklopedii MathWorld (anglicky)
[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|