V encyklopedii Allmultimedia.cz byl aktivován špičkový grafický skin Foreground.
Foreground plně podporuje – RWD, HTML 5.0, Super Galerii a YouTube 2.0 !

Polynom

Z Multimediaexpo.cz

Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru

\(p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_n x^n\),

kde \(a_n \neq 0\). Čísla \(a_0, a_1, ..., a_n\) se nazývají koeficienty polynomu.

Stupeň polynomu

Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x2 – 3x) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definuje deg p(x) = \(-\infty\).

Příklady polynomů

  • \(p(x) = 8 x + 3\) je polynom 1. stupně (lineární polynom)
  • \(p(x) = 3 x^2 + 2 x - 2\) je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
  • \(p(x) = 3 x^3 - 8 x\) je polynom 3. stupně (kubický polynom)

Operace s polynomy

Mějme polynom \(n\)-tého stupně \(f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i, a_n \neq 0\), a polynom \(m\)-tého stupně \(g(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^i, b_m \neq 0\).

  • Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. \(f(x) = g(x)\) pro všechna \(x\) pouze tehdy, je-li \(n = m\) a pro každé \(i = 1, 2, ..., n\) platí \(a_i = b_i\).
  • Sečtením polynomů \(f(x)\) a \(g(x)\) získáme polynom
\(h(x) = f(x) + g(x) = \sum_{i=0}^r (a_i + b_i) x^i\),

kde \(r = max(n,m)\). Stupeň výsledného polynomu je \(\leq r\). (Odpovídající koeficienty polynomů \(f(x)\) a \(g(x)\) mohou v součtu dávat 0.)

  • Součin polynomů \(f(x), g(x)\) je polynom \(f(x) \cdot g(x)\), který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je \(s = n + m\).
  • Platí tedy, že \( \sum_{i=0}^n a_i x^i \cdot \sum_{i=0}^m b_i x^i = \sum_{i=0}^{n+m} (\sum_{j=0}^i a_j\cdot b_{i-j}) x^i \).
  • Je-li kde \(n \geq m\), pak existují právě dva polynomy \(r(x), s(x)\) takové, že platí
\(f(x) = g(x) r(x) + s(x)\)

kde \(s(x)\) má stupeň menší než \(m\) nebo je nulovým polynomem. Pokud \(s(x)\) je nulový polynom, pak říkáme, že polynom \(f(x)\) je dělitelný polynomem \(g(x)\).

Hornerovo schéma

Polynom \(p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}\) lze zapsat ve tvaru

\(p(x) = (...((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + ... + a_1)x + a_0\)

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu \(p(x)\) v bodě \(x\) postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li

\(c_n = a_n\),
\(c_{n-1} = c_n x + a_{n-1}\),
\(c_{n-2} = c_{n-1} x + a_{n-2}\),
…
\(c_0 = c_1 x + a_0\),

pak poslední číslo \(c_0\) představuje právě hodnotu polynomu \(p(x)\) v bodě \(x\).

Příklady

  • Mějme polynomy \(f(x) = x^4 - x\), \(g(x) = x^3 - 2 x + 1\)
\(f(x) + g(x) = x^4 - x + x^3 - 2x + 1 = x^4 + x^3 - 3 x + 1\)
\(f(x) \cdot g(x) = (x^4 - x)(x^3 - 2x + 1) = x^7 - 2x^5 + x^4 - x^4 + 2x^2 - x = x^7 - 2x^5 + 2x^2 - x\)
  • Pokusme se zjistit, zda je polynom \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + 1\) dělitelný polynomem \(g(x) = x^2 + 1\).

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu \(f(x)\) členem s nejvyšší mocninou polynomu \(g(x)\), tzn. \(\frac{x^4}{x^2} = x^2\). První člen polynomu \(r(x)\) tedy bude \(x^2\). Tímto členem vynásobíme polynom \(g(x)\) (dostaneme tedy \(x^4 + x^2\)) a výsledek odečteme od polynomu \(f(x)\), čímž získáme nový polynom \(f_1(x) = f(x) - (x^4 + x^2) = - 4x^2 + 2x + 1\).

Nejvyšší člen polynomu \(f_1(x)\) opět dělíme nejvyšším členem polynomu \(g(x)\), tzn. \(\frac{-4 x^2}{x^2} = -4\), tzn. další člen polynomu \(r(x)\) je \(-4\). Tímto členem opět násobíme polynom \(g(x)\), tzn. získáme \(-4 x^2 - 4\), a výsledek odečteme od polynomu \(f_1(x)\). Získáme nový polynom \(f_2(x) = 2 x + 5\).

Stupeň polynomu \(f_2(x)\) je však nižší než stupeň polynomu \(g(x)\), proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom \(f_2(x)\) tedy odpovídá polynomu \(s(x)\).

Výsledek tedy je

\(f(x) = x^4 - 3 x^2 + 2 x + 1 = g(x) r(x) + s(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 4) + (2 x + 5)\),

tzn. \(r(x) = x^2 - 4\) a \(s(x) = 2x + 5\).

Vzhledem k tomu, že \(s(x) \neq 0\), není polynom \(f(x)\) dělitelný polynomem \(g(x)\).

Kořen polynomu

Číslo \(\alpha\) se nazývá kořen polynomu \(p(x)\), jestliže platí

\(p(\alpha) = 0\)

Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.

Vlastnosti

  • Je-li \(\alpha\) kořenem polynomu \(p(x)\) stupně \(n \geq 1\), pak
\(p(x) = (x - \alpha) g(x)\),

kde \(g(x)\) je polynom stupně \(n - 1\).

  • Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze \(k\) kořenů polynomu \(n\)-tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom \(p(x)\) na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu \(g(x)\) stupně \(n-k\), tzn.
\(p(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_k) g(x)\),

kde \(\alpha_i\) představují známé kořeny polynomu \(p(x)\). Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu \(p(x)\) stačí hledat pouze kořeny polynomu \(g(x)\), tzn. řešit rovnici \(g(x) = 0\), neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu \(p(x)\). Polynom \(g(x)\) získáme z polynomu \(p(x)\) jeho vydělením výrazem \((x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_k)\).

Rozklad na kořenové činitele

  • Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom \(p(x)\) stupně \(n \geq 1\) lze zapsat ve tvaru
\(p(x) = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\),

kde \(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\) jsou kořeny polynomu \(p(x)\). Členy \((x - \alpha_i)\) označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

Násobnost kořene

  • Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát
\(f(x) = a_n (x - \alpha_1)^{k_1} \cdot (x -\alpha_2)^{k_2} \cdot ... \cdot (x - \alpha_n)^{k_n}\),

kde \(k_1+k_2+...+k_n=n\), přičemž \(k_i\) jsou přirozená čísla. Čísla \(k_i\) určují násobnost kořene \(\alpha_i\), tzn. kolikrát se kořen \(\alpha_i\) vyskytuje v řešení polynomu.

  • Pokud má polynom stupně \(n \geq 1\) s reálnými koeficienty \(k\)-násobný kořen \(\alpha = a + i b\), má také \(k\)-násobný kořen \(\overline{\alpha} = a - i b\). To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem \((x - \alpha)(x - \overline{\alpha}) = x^2 - 2 x a + (a^2 + b^2)\).
  • Podle předchozího tvrzení lze každý polynom \(p(x)\) stupně \(n \geq 1\) s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla \(a_n\), reálných kořenových činitelů \(x - \alpha_i\) a reálných trojčlenů \(x^2 + p_i x + q_i\), splňujících podmínku \(p_i^2 - 4 q_i < 0\), tzn.
\(p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_k)(x^2 + p_1 x + q_1)(x^2 + p_2 x + q_2) \cdots (x^2 + p_m x + q_m)\),

kde \(\alpha_1, ..., \alpha_k, p_1, ..., p_m, q_1, ..., q_m\) jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka \(k + 2 m = n\).

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.

\(p(x) = a_n (x - \alpha_1)^{u_1} \cdots (x - \alpha_s)^{u_s}(x^2 + p_1 x + q_1)^{v_1} \cdots (x^2 + p_r x + q_r)^{v_r}\),

kde \(u_1 + u_2 + ... + u_s = k\) určuje počet reálných kořenů polynomu a \(v_1 + v_2 + ... + v_r = m\) je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

  • Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.
  • Pokud jsou \(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\) kořeny polynomu \(p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\), potom pro tyto kořeny platí následující vztahy
\(\alpha_1 + \alpha_2 + ...+ \alpha_n = -a_{n-1}\)
\(\alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + ... + \alpha_1 \alpha_n + \alpha_2 \alpha_3 + ...+ \alpha_2 \alpha_n + + \alpha_{n-1} \alpha_n = a_{n-2}\)
…
\(\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n = (-1)^n a_0\)

Derivace polynomu

  • Derivací polynomu \( \sum_{i=0}^n a_i x^i \) rozumíme polynom tvaru \( \sum_{i=1}^{n} a_i\cdot i x^{i-1} \). Derivaci značíme \( f\) '

(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)

  • n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce

\( f\ ^{(1)}=f\) '

\( f\ ^{(n)}=(f^{(n-1)})\) '

Souvislost derivace a násobnosti kořene

Číslo \(\alpha\) je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu \(k-1\) (a není kořenem derivace řádu \(k\)).

Polynom dvou proměnných

Funkci \(P\) dvou proměnných \(x \in R, y \in R\) označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla \(n, m\) a konstanty \(a_{ij}\) takové, že platí

\(P(x,y) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{ij} x^i y^j\).

Související články

Externí odkazy


Flickr.com nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Polynom
Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Polynom
Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Polynom“