Válec

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Válec.

Válec je oblé těleso, které získáme jako průnik válcového prostoru a rovinné vrstvy. Část válcové plochy, která tvoří povrch válce je označována jako plášť válce. Řezy válcového prostoru hraničními rovinami vrstvy se nazývají podstavami. Plášť válce a podstavy nazýváme společným názvem povrch válce. Vzdálenost mezi podstavami se nazývá výška válce. Vzdálenost mezi dvěma podstavami podél pláště se nazývá strana válce. Jsou-li strany kolmé na podstavy, pak hovoříme o kolmém válci. V opačném případě se jedná o válec kosý. Je-li podstavou kruh, pak válec označíme jako kruhový. Kolmý kruhový válec nazýváme rotačním válcem. Přímku procházející středy obou podstav rotačního válce nazýváme osou rotace.

Válcová plocha a prostor

Válcový prostor a plocha.

Mějme jednoduchou uzavřenou křivku $k$, která leží v rovině. Body, které leží na vzájemně rovnoběžných přímkách procházejících libovolným bodem křivky $k$, tvoří válcovou plochu. Část prostoru ohraničená válcovou plochou se nazývá válcový prostor.

Rovnice

Válcová plocha (kvadratický válec) bývá označována podle řídící křivky.

Eliptický kvadratický válec

Eliptický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Řídící křivkou eliptického válce je elipsa ležící v rovině $z=0$ s rovnicí $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou $z$. Pro $a=b$ se jedná o rotační válec s osou rotace $z$.

Hyperbolický kvadratický válec

Hyperbolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Řídící křivkou hyperbolického válce je hyperbola ležící v rovině $z=0$ s rovnicí $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou $z$.

Parabolický kvadratický válec

Parabolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

$y^2=2px$

Řídící křivkou parabolického válce je parabola ležící v rovině $z=0$ s rovnicí $y^2=2px$ a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou $z$.

Obecný kvadratický válec

Obecnou válcovou plochu, jejíž řídící křivka leží v rovině $z=0$ a má rovnici $f(x,y)=0$, a její tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou $z$, lze zapsat rovnicí

$f(x,y)=0$

Obecně lze říci, že pokud v rovnici plochy chybí jedna z proměnných, pak se jedná o rovnici válcové plochy, jejíž tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou, která odpovídá chybějící proměnné, a jejíž řídící křivka má stejnou rovnici jako daná plocha a leží v rovině kolmé k tvořícím přímkám. Jsou-li tvořící přímky rovnoběžné s vektorem $(a_1,a_2,a_3)$, pak lze rovnici válcové plochy převést na tvar

$F(a_{3}x-a_{1}z,a_{3}y-a_{2}z)=0$

Vlastnosti

Objem válce určíme ze vztahu

$V=Sv$,

kde $S$ je obsah podstavy a $v$ je výška válce. Obsah povrchu válce je dán vztahem

$P=2S+Q$,

kde $S$ je obsah podstavy a $Q$ je obsah pláště válce.

Rotační válec

Rotační válec.

Rotační válec má mnohé praktické aplikace.

Vlastnosti

• Pro objem rotačního válce platí

$V=\pi r^{2}h⟹h=V/(\pi r^2)$

kde $r$ je poloměr podstavy a $h$ je výška válce.

• Obsah pláště rotačního válce je

$Q=2\pi rh$

Pro obsah celého povrchu rotačního válce pak platí

$S=2\pi r(r+h)$

• Označíme-li si na podstavě válce libovolný bod (kromě středu) a pak valíme válec po rovině, pak označený bod opisuje cykloidu.

Související články

• Geometrický útvar
• Kvadratická plocha
• Oblá tělesa
• Mnohostěn
• Kruh
• Válcová soustava souřadnic