Hyperbola

Z Multimediaexpo.cz

Ilustrace definice: ohniska (B1, B2); bod hyperboly (P); vzdálenosti ohnisek (d1, d2).

Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek. Hyperbola také tvoří graf funkce $y = 1 / x$ v kartézské soustavě souřadnic. Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem - tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.

Obsah

[skrýt]

1 Matematická vyjádření
- 1.1 Kartézský souřadnicový systém
- 1.2 Polární souřadnicový systém
2 Související články
3 Externí odkazy

Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření

‖ F_{1} X ‖ - ‖ F_{2} X ‖ = 2 a

Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek $F_{1}$ a $F_{2}$ konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.

Kartézský souřadnicový systém

Standardní popis hyperboly:

Soubor:Hyperbola kartezsky system.GIF

Hyperbola v kartézském souřadnicovém systému, hlavní osa rovnoběžná s osou y.

S[m, n] - Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F₁, F₂ - ohniska hyperboly
A, B - vrcholy hyperboly
o₁ - hlavní osa hyperboly
o₂ - vedlejší osa hyperboly
p₁, p₂ - asymptoty hyperboly
$| A S | = | S B | = a$ - délka hlavní poloosy
$| C S | = | S D | = b$ - délka vedlejší poloosy
$| F_{1} S | = | F_{2} S | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = e$ excentricita
$| A B | = 2 a$ - délka hlavní osy
$| C D | = 2 b$ - délka vedlejší osy
X[x, y] - libovolný bod náležící hyperbole

Pokud $a = b$ , pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.

Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění

Hlavní osa $o_{1}$ hyperboly rovnoběžná s osou $x$

Středová rovnice:

\frac{(x - m)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - n)^{2}}{b^{2}} = 1

Obecná rovnice:

A x^{2} - B y^{2} + C x + D y + E = 0, A > 0, B > 0

Rovnice asymptot:

y - n = \pm \frac{b}{a} (x - m)

Rovnice tečny v bodě $T [x_{0}, y_{0}]$ :

\frac{(x - m) (x_{0} - m)}{a^{2}} - \frac{(y - n) (y_{0} - n)}{b^{2}} = 1

Hlavní osa $o_{1}$ hyperboly rovnoběžná s osou $y$

Středová rovnice:

\frac{(y - n)^{2}}{a^{2}} - \frac{(x - m)^{2}}{b^{2}} = 1

Obecná rovnice:

- A x^{2} + B y^{2} + C x + D y + E = 0, A > 0, B > 0

Rovnice asymptot:

y - n = \pm \frac{a}{b} (x - m)

Rovnice tečny v bodě $T [x_{0}, y_{0}]$ :

\frac{(y - n) (y_{0} - n)}{a^{2}} - \frac{(x - m) (x_{0} - m)}{b^{2}} = 1

Asymptoty $p_{1}, p_{2}$ rovnoběžné s osami $x$ a $y$

Soubor:Función inversa.png

Asymptoty totožné s osami x a y: y = 1/x

Středová rovnice:

(x - m) (y - n) = c

a = b = \sqrt{2 | c |}

Obecná rovnice:

x y + A x + B y + C = 0

Rovnice asymptot:

x = m, y = n

Převedení obecné rovnice na středovou

Uspořádáme členy v rovnici.

2 x^{2} + 4 x - y^{2} + 3 y - \frac{17}{4} = 0

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme mínus.

2 [{(x + 1)}^{2} - 1] - {[(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}] = \frac{17}{4}

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.

2 (x + 1)^{2} - 2 - {(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{4} = \frac{17}{4}

2 (x + 1)^{2} - {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 4

\frac{(x + 1)^{2}}{2} - \frac{{(y - \frac{3}{2})}^{2}}{4} = 1

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa $o_{1}$ je rovnoběžná s osou $x$ .
$S [- 1, \frac{3}{2}]$ , $a = \sqrt{2}$ , $b = 2$ , $e = \sqrt{6}$ , $p_{1} : y = \sqrt{2} x + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ , $p_{2} : y = - \sqrt{2} x + \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}$

Vzájemná poloha hyperboly a přímky

Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot - přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant $D$ je:

D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
D < 0 žádné řešení - přímka je nesečna

Vzájemná poloha hyperboly a bodu

Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly

Polární souřadnicový systém

Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:

r^{2} = \frac{a^{2} b^{2}}{b^{2} \cos^{2} θ - a^{2} \sin^{2} θ}

Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:

r = \frac{a (e^{2} - 1)}{1 - e \cos θ}

Související články

Externí odkazy

Vyčerpávající popis hyperboly

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Hyperbola

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii