Aritmetická míra

Z Multimediaexpo.cz

Aritmetická míra, též čítací míra nebo počítací míra, je mírou používanou hlavně v diskrétních systémech. Neformálně je to funkce, která množině přiřazuje počet jejích prvků.

Definice

Mějme měřitelný prostor \((X, \mathcal{P}(X))\), kde \(X\) je libovolná množina a \(\mathcal{P}\) značí potenční množinu (\(\mathcal{P}(X)\) je speciální případ σ-algebry na \(X\)). Na takovém prostoru definujeme aritmetickou míru pro \(A \in \mathcal{P}(X)\) takto:

\(\alpha(A) = \begin{cases} |A| & \mbox{pokud A je konečná množina} \\ \infty & \mbox{pokud A není konečná} \end{cases}\)

Vztah sumy a integrálu

Aritmetická míra umožňuje zavést sumu jako speciální případ integrálu (Lebesgueova). Jelikož je každá podmnožina \(\mathbb{N}\) měřitelná, tak pro každou funkci (resp. posloupnost) \(g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}\) platí:

\(\int_\mathbb{N} g \, \mathrm{d} \alpha = \sum_{n = 0}^{\infty} g(n)\) Je-li integrál definován.

Tento vztah je užitečný například při zavádění L_p prostoru na množině posloupností.

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii