Sigma algebra

Z Multimediaexpo.cz

$σ$ -algebra (sigma-algebra, též $σ$ -těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků.

Prefix $σ$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Obsah

[skrýt]

1 Formální definice
2 Další vlastnosti
3 Použití
4 Měřitelná množina
5 Související články

Formální definice

Systém $A$ podmnožin množiny $Ω$ nazveme $σ$ -algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.

$\emptyset \in A$
jestliže $(\forall n \in N) (M_{n} \in A)$ , pak $⋃_{n = 1}^{\infty} M_{n} \in A$
jestliže $M \in A$ , pak $Ω ∖ M \in A$

Další vlastnosti

$σ$ -algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků: $(⋃_{M \in A} M) \in A$ ; dostaneme dosazením prázdné množiny za $M$ v poslední části definice
$σ$ -algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže $(\forall n \in N) (A_{n} \in R)$ , pak $⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in R$

Použití

Koncept $σ$ -algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce, která je $σ$ -aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině $Ω$ hodnotu 1.

Měřitelná množina

V teorii míry se dvojice $(Ω, A)$ , kde $Ω$ je libovolná množina a $A$ je $σ$ -algebra na $Ω$ nazývá měřitelný prostor a množiny $S \in A$ nazýváme měřitelné množiny.

Související články

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii