Logaritmická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu. ^[1] ^[2]

Příklad, jak může rovnice vypadat:

$(3 - x) \cdot \log x = (2 - x) \cdot \log 4$

Obsah

[skrýt]

1 Řešení logaritmické rovnice
2 Související články
3 Reference

Řešení logaritmické rovnice

^[3] ^[4]

Jednoduchá rovnice

$\log_{5} \frac{1}{125} = x$
Z pravidla víme, že $y = \log_{a} x => a^{y} = x$ čili:
$5^{x} = \frac{1}{125}$
Nyní to budeme řešit jako exponenciální rovnici o stejném základu. Čili $125$ se dá napsat jako $5^{3}$ :
$5^{x} = \frac{1}{5^{3}}$
Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen $5$
$5^{x} = 5^{- 3}$
$x = - 3$

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Odstraněním logaritmu

$\frac{1}{7} \log_{2} (3 x - 5) = 0$
1. Podmínkou je, že $3 x - 5 > 0$
2. $3 x > 5$
3. $x > \frac{5}{3}$
Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
$\frac{1}{7} \log_{2} (3 x - 5) = \log_{2} 1$
$\frac{1}{7}$ napíšeme jako exponent:
$l o g_{2} (3 x - 5)^{\frac{1}{7}} = \log_{2} 1$
Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
$(3 x - 5)^{\frac{1}{7}} = 1$
Z exponentu $\frac{1}{7}$ uděláme sedmou odmocninu:
$\sqrt[7]{3 x - 5} = 1$
Celou rovnici umocníme na 7:
$3 x - 5 = 1$
Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
$3 x = 1 + 5$
$3 x = 6$
Celou rovnici vydělíme 3:
$x = 2$

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

S pomocí kalkulačky

$(3 - x) \cdot \log 2 = (2 - x) \cdot \log 4$
Vynásobíme závorky s logaritmem:
$3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2 = 2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4$
Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
$- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2$
Vytkneme x:
$x \cdot (- \log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2$
Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
$x = \frac{- \log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}$
$x = \frac{- \log 2 + \log 4}{\log 4^{2} - \log 2^{3}}$
Vypočítáme na kalkulačce:
$x = \frac{- \log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}$
Výsledek je:
$x = 1$

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

$(\log_{2} x)^{2} - \log_{2} x - 2 = 0$
Poznámka: $(\log_{2} x)^{2} = \log_{2}^{2} x$
1. Podmínkou je, že $x > 0$
Zavedeme substituci $a = \log_{2} x$ čili:
$a^{2} - a - 2 = 0$
$(a - 2) (a + 1)$
Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
1. $a_{1} = 2$
2. $a_{2} = - 1$
Vyřešíme obě rovnice:
1. $\log_{2} x = 2$
  1. Z pravidla víme, že $y = \log_{a} x => a^{y} = x$ čili:
    $x = 2^{2}$
  2. $x = 4$
2. $\log_{2} x = - 1$
  1. Z pravidla víme, že $y = \log_{a} x => a^{y} = x$ čili:
    $x = 2^{- 1}$
  2. $x = \frac{1}{2^{1}}$
  3. $x = \frac{1}{2}$

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Související články

Reference

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[0] Logaritmická rovnice - teorie

[1] Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady

[2] Logaritmická rovnice - řešené příklady

[3] Logaritmická rovnice - řešené příklady

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Řádka 5: / Řádka 5: @@
 ''Příklad, jak může rovnice vypadat:''
-<big>\((3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4</math>
+<big>\((3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4\)</big>
 == Řešení logaritmické rovnice ==
@@ Řádka 11: / Řádka 11: @@
 <ref>[http://webvyukacontent.olportal.cz/w-matsbirkass-041215/Logaritmicke_rovnice.htm Logaritmická rovnice - řešené příklady]</ref>
 === Jednoduchá rovnice ===
-# <big>\(\log_5 \frac{1}{125} = x</math>
+# <big>\(\log_5 \frac{1}{125} = x\)</big>
-# Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><big>\(5^x = \frac{1}{125}</math>
+# Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x\)</big> čili:<br /><big>\(5^x = \frac{1}{125}\)</big>
-# Nyní to budeme řešit jako [[Exponenciální rovnice|exponenciální rovnici]] o stejném základu. Čili <big>\(125</math> se dá napsat jako <big>\(5^3</math>:<br /><big>\(5^x = \frac{1}{5^3}</math>
+# Nyní to budeme řešit jako [[Exponenciální rovnice|exponenciální rovnici]] o stejném základu. Čili <big>\(125\)</big> se dá napsat jako <big>\(5^3\)</big>:<br /><big>\(5^x = \frac{1}{5^3}\)</big>
-# Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen <big>\(5</math><br /><big>\(5^x = 5^{-3}</math>
+# Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen <big>\(5\)</big><br /><big>\(5^x = 5^{-3}\)</big>
-# <big>\(x = -3</math>
+# <big>\(x = -3\)</big>
 Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
 === Odstraněním logaritmu ===
-# <big>\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0</math>
+# <big>\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0\)</big>
-## Podmínkou je, že <big>\(3x - 5 > 0</math>
+## Podmínkou je, že <big>\(3x - 5 > 0\)</big>
-## <big>\(3x > 5</math>
+## <big>\(3x > 5\)</big>
-## <big>\(x > \frac{5}{3}</math>
+## <big>\(x > \frac{5}{3}\)</big>
-# Z 0 uděláme [[logaritmus]] o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:<br /><big>\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1</math>
+# Z 0 uděláme [[logaritmus]] o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:<br /><big>\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1\)</big>
-# <big>\(\frac{1}{7}</math> napíšeme jako [[Umocňování|exponent]]:<br /><big>\(log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1</math>
+# <big>\(\frac{1}{7}\)</big> napíšeme jako [[Umocňování|exponent]]:<br /><big>\(log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1\)</big>
-# Nyní můžeme odstranit [[logaritmus]] na obou stranách, protože mají stejné základy:<br /><big>\((3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1</math>
+# Nyní můžeme odstranit [[logaritmus]] na obou stranách, protože mají stejné základy:<br /><big>\((3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1\)</big>
-# Z [[exponent]]u <big>\(\frac{1}{7}</math> uděláme sedmou [[Odmocnina|odmocninu]]:<br /><big>\(\sqrt[7]{3x - 5} = 1</math>
+# Z [[exponent]]u <big>\(\frac{1}{7}\)</big> uděláme sedmou [[Odmocnina|odmocninu]]:<br /><big>\(\sqrt[7]{3x - 5} = 1\)</big>
-# Celou rovnici [[Umocňování|umocníme]] na 7:<br /><big>\(3x - 5 = 1</math>
+# Celou rovnici [[Umocňování|umocníme]] na 7:<br /><big>\(3x - 5 = 1\)</big>
-# Nyní to budeme řešit jako [[Lineární rovnice|lineární rovnici]]:<br /><big>\(3x = 1 + 5</math>
+# Nyní to budeme řešit jako [[Lineární rovnice|lineární rovnici]]:<br /><big>\(3x = 1 + 5\)</big>
-# <big>\(3x = 6</math>
+# <big>\(3x = 6\)</big>
-# Celou [[Rovnice|rovnici]] vydělíme 3:<br /><big>\(x = 2</math>
+# Celou [[Rovnice|rovnici]] vydělíme 3:<br /><big>\(x = 2\)</big>
 Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.
 === S pomocí kalkulačky ===
-# <big>\((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4</math>
+# <big>\((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4\)</big>
-# Vynásobíme závorky s [[Logaritmus|logaritmem]]:<br /><big>\(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4</math>
+# Vynásobíme závorky s [[Logaritmus|logaritmem]]:<br /><big>\(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4\)</big>
-# Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu [[Rovnice|rovnice]]:<br /><big>\(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
+# Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu [[Rovnice|rovnice]]:<br /><big>\(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)</big>
-# [[Vytýkání|Vytkneme]] x:<br /><big>\(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
+# [[Vytýkání|Vytkneme]] x:<br /><big>\(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)</big>
-# Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big>\(x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}</math>
+# Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big>\(x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}\)</big>
-# <big>\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}</math>
+# <big>\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}\)</big>
-# Vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big>\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}</math>
+# Vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big>\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}\)</big>
-# Výsledek je:<br /><big>\(x = 1</math>
+# Výsledek je:<br /><big>\(x = 1\)</big>
 Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
 === Substituce ===
-# <big>\((\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0</math><br />Poznámka: <big>\((\log_2 x)^2 = \log_2^2 x</math>
+# <big>\((\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0\)</big><br />Poznámka: <big>\((\log_2 x)^2 = \log_2^2 x\)</big>
-## Podmínkou je, že <big>\(x > 0</math>
+## Podmínkou je, že <big>\(x > 0\)</big>
-# Zavedeme [[Substituce (matematika)|substituci]] <big>\(a = \log_2 x</math> čili:<br /><big>\(a^2 - a - 2 = 0</math>
+# Zavedeme [[Substituce (matematika)|substituci]] <big>\(a = \log_2 x\)</big> čili:<br /><big>\(a^2 - a - 2 = 0\)</big>
-# <big>\((a - 2)(a + 1)</math>
+# <big>\((a - 2)(a + 1)\)</big>
 # Nyní máme výsledky [[Kvadratická rovnice|kvadratické rovnice]]:
-## <big>\(a_1 = 2</math>
+## <big>\(a_1 = 2\)</big>
-## <big>\(a_2 = -1</math>
+## <big>\(a_2 = -1\)</big>
 # Vyřešíme obě [[rovnice]]:
-## <big>\(\log_2 x = 2</math>
+## <big>\(\log_2 x = 2\)</big>
-### Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><big>\(x = 2^2</math>
+### Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x\)</big> čili:<br /><big>\(x = 2^2\)</big>
-### <big>\(x = 4</math>
+### <big>\(x = 4\)</big>
-## <big>\(\log_2 x = -1</math>
+## <big>\(\log_2 x = -1\)</big>
-### Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><big>\(x = 2^{-1}</math>
+### Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x\)</big> čili:<br /><big>\(x = 2^{-1}\)</big>
-### <big>\(x = \frac{1}{2^1}</math>
+### <big>\(x = \frac{1}{2^1}\)</big>
-### <big>\(x = \frac{1}{2}</math>
+### <big>\(x = \frac{1}{2}\)</big>
 Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.