Ve středu 26. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 1 000 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
FFresh emotion happy.png

Kořen (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

Kořenem funkce f se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru f, v němž f nabývá nulové hodnoty.

Přesněji kořenem je každé a splňující rovnici f(a) = 0. Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor f podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce f protíná komplexní rovinu resp. osu x.

Obsah

[skrýt]

Kořen polynomu

Polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše n různých komplexních kořenů. Je-li totiž a kořenem polynomu P(x), pak (xa) dělí P(x), a tedy P(x)/(x-a) je polynom stupně n-1.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě n kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom x2+1 nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla ±i).

Metody výpočtu

Přímo

  • Je-li P(x) lineární polynom (tedy P(x)=ax+b, kde a0 a b jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo x0=ba
  • Jde-li o kvadratický polynom (P(x)=ax2+bx+c), pak existují obecně dva kořeny x1,2=b±b24ac2a.
  • Pro výpočet kořenů kubického polynomu existují např. Cardanovy vzorce.

Aproximací

Najdeme-li dva body x1 a x2, pro které platí sgn(P(x1))=sgn(P(x2)) kde sgn značí znaménkovou funkci signum (jinak řečeno P(x1)P(x2)<0), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu (x1,x2) (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen

Příklady

  • Kořenem funkce (polynomu) f(x)=x2+6x+9 je číslo −3, protože f(-3) = 0.
    Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na (x+3)2.
  • Funkce f(x)=ex (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
  • Funkce f(x)=sin(x) (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru , kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Související články