V neděli 16. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 920 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
FFresh emotion happy.png

Kleinova-Gordonova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Kleinova-Gordonova rovnice je pohybová rovnice v jedné z relativistických formulací kvantové mechaniky. Je pojmenována po Oskaru Kleinovi a Walteru Gordonovi, nezávisle na nich ji ale odvodil také Vladimir Alexandrovič Fok. Popisuje chování částic s nulovým spinem (tzv. skalární mezony). Jde o parciální diferenciální rovnici druhého řádu.

(m2c22)ψ=0

Zde m je klidová hmotnost částice, c je rychlost světla ve vakuu, je redukovaná Planckova konstanta, ψ je vlnová funkce a je d'Alembertův operátor obsahující druhé parciální derivace podle času a kartézských souřadnic polohy.

=Δ1c22t2=2x2+2y2+2z21c22t2

(Δ= je Laplaceův operátor, je operátor nabla, tečka značí skalární součin.)

Obsah

[skrýt]

Motivace

Důvodem k náhradě Schrödingerovy rovnice jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje speciální teorii relativity. Proto nemůže být správná v situacích, kdy rychlosti částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro Hamiltonián

H^=T^+V^=p^22m+V

vychází z newtonovského výrazu pro kinetickou energii T=mv2/2=p2/(2m), který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči Lorentzovým transformacím.

Odvození

Energie ve speciální relativitě je dána velikostí čtyřvektoru energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je

E2=c2p2+m2c4,

kde m je klidová hmotnost částice, p je vektor hybnosti a c je rychlost světla ve vakuu. Kleinovu-Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro energii a hybnost do tohoto vztahu.

E^=it
p^=i

(Konstanta i je imaginární jednotka.) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:

22ψt2=2c2Δψ+m2c4ψ.

Rovnici vydělíme 2c2, odečteme pravou stranu a získáme

Δψ1c22ψt2m2c22ψ=0,

kde je na levé straně již vidět působení operátoru na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu-Gordonovu rovnici.

Při přechodu do jiné inerciální vztažné soustavy, čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako skalár, tedy právě jako konstanta (mc/)2, kde m je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.

V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze x-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je px^=i(/x) a Kleinova-Gordonova rovnice přejde na tvar

2ψx21c22ψt2=m2c22ψ.

Problémy

Kleinova-Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako počáteční podmínku zadat nejen vlnovou funkci ψ(r,t) v okamžiku t=t0, ale zároveň i její derivaci ψ/t. V důsledku z toho také plyne, že veličina

ρ=i2mc2(ψψtψψt),

která by měla odpovídat hustotě pravděpodobnosti, může nabývat i záporných hodnot. To vedlo Paula Diraca ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme Diracova rovnice. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci antihmoty a také zcela novou fyzikální veličinu (spin), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy-Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem.

Související články

Externí odkazy