V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.

Elektrický potenciál

Z Multimediaexpo.cz

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v neměnném elektrickém poli. Jedná se tedy o potenciál elektrického pole, tzn. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného bodu, kterému je přisouzen nulový potenciál, do daného místa.

Za místo s nulovým potenciálem (tzn. vztažný bod) se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod (běžné u jiných potenciálů, u elektřiny obvykle pouze v teoretických úlohách), nebo povrch Země.

Obsah

Značení

Výpočet

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako

\(\varphi = \frac{W}{Q}\),

kde W je potenciální energie nabitého tělesa a Q je jeho náboj.


Potenciál bodového náboje, který se nachází v počátku soustavy souřadnic, lze zapsat jako

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r} + \varphi_0\),

kde \(\boldsymbol{r}\) je polohový vektor bodu prostoru a \(\varphi_0\) je Integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade \(\varphi_0 = 0\).

Potenciál objemově rozloženého náboje s hustotou náboje \(\rho\) lze vyjádřit vztahem

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_V \frac{\rho(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}V\),

kde \(V\) je celkový objem, přes který se integruje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje \(\rho\) nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová.

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit jako

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_S \frac{\sigma(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}S\),

kde \(\sigma\) je plošná hustota elektrického náboje.


Pro potenciál lineárně rozloženého náboje platí

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_l \frac{\tau(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}l\),

kde \(\tau\) je lineární hustota elektrického náboje.

Poissonova rovnice

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme

\(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = -\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)

Využijeme-li z vektorové analýzy tzv. Laplaceův operátor \(\Delta = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\), lze předchozí vztah zapsat ve tvaru Poissonovy rovnice

\(\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}\)

Tato rovnice je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon.

Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tzn. \(\rho=0\), zjednoduší se předchozí rovnice na rovnici, která se označuje jako rovnice Laplaceova

\(\Delta\varphi = 0\)

Vlastnosti

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy \(n\) bodových nábojů \(Q_1\)\(Q_n\), jejichž polohové vektory jsou \(\boldsymbol{r}_1\)\(\boldsymbol{r}_n\).

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|} + \varphi_0\)

Potenciál jednoho z bodových nábojů \(Q_i\) ze soustavy nábojů \(Q_1\)\(Q_n\) vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

\(\varphi_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{j\ne i}\frac{Q_j}{|\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j|}\)

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tzn.

\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\operatorname{grad}\,\varphi(\boldsymbol{r})\)

Potenciál elektrostatického pole lze podle chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tzn. \(\varphi_0=0\), potom lze podle předchozího vztahu psát

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = -\int_\infty^\boldsymbol{r} \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\)

Rozdíl potenciálů je roven napětí mezi danými body.

Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tzn. \(\varphi=\mbox{konst}\), se nazývá ekvipotenciální plocha.

Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciálním plochám. To lze ukázat diferenciací vztahu \(\varphi=\mbox{konst}\), tzn.

\(\mathrm{d}\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial\varphi}{\partial z}\mathrm{d}z = -(E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z) = -\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} = 0\),

kde \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\) leží v tečné rovině k ekvipotenciální ploše. Vektory \(\boldsymbol{E}\) a \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\) jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. \(\boldsymbol{E}\) je kolmé k ekvipotenciální ploše.

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Elektrický potenciál