V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Kuželosečka

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
Řádka 13: Řádka 13:
== Algebraické vyjádření ==
== Algebraické vyjádření ==
Každou kuželosečku lze vyjádřit [[rovnice|rovnicí]]
Každou kuželosečku lze vyjádřit [[rovnice|rovnicí]]
-
:<big>\(a_{11} x^2 + 2 a_{12}xy + a_{22} y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0</math>,
+
:<big>\(a_{11} x^2 + 2 a_{12}xy + a_{22} y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0\)</big>,
-
kde koeficienty <big>\(a_{ij}</math> jsou [[reálné číslo|reálná čísla]], přičemž <big>\(a_{ij}=a_{ji}</math>. Tato rovnice je [[algebraická rovnice|algebraickou rovnicí]] druhého stupně v <big>\(x</math> a <big>\(y</math>.
+
kde koeficienty <big>\(a_{ij}\)</big> jsou [[reálné číslo|reálná čísla]], přičemž <big>\(a_{ij}=a_{ji}\)</big>. Tato rovnice je [[algebraická rovnice|algebraickou rovnicí]] druhého stupně v <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big>.
=== Invarianty ===
=== Invarianty ===
Při [[transformace souřadnic|transformaci souřadnic]] se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako ''[[Invariant (matematika)|invarianty]]''.
Při [[transformace souřadnic|transformaci souřadnic]] se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako ''[[Invariant (matematika)|invarianty]]''.
Uvedená rovnice má tři invarianty:
Uvedená rovnice má tři invarianty:
* '''determinant kuželosečky'''
* '''determinant kuželosečky'''
-
:<big>\(\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}</math>
+
:<big>\(\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)</big>
* '''determinant kvadratických členů'''
* '''determinant kvadratických členů'''
-
:<big>\(\delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}</math>
+
:<big>\(\delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\)</big>
* třetím invarientem je
* třetím invarientem je
-
:<big>\(S = a_{11} + a_{22}</math>
+
:<big>\(S = a_{11} + a_{22}\)</big>
-
Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty <big>\(a_{ij}</math>, avšak uvedené invarianty se nezmění.
+
Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty <big>\(a_{ij}\)</big>, avšak uvedené invarianty se nezmění.
=== Klasifikace kuželoseček podle invariantů ===
=== Klasifikace kuželoseček podle invariantů ===
Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých [[křivka|křivek]], které jsou touto rovnicí určeny.
Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých [[křivka|křivek]], které jsou touto rovnicí určeny.
-
Je-li <big>\(\Delta\neq 0</math>, pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro <big>\(\Delta=0</math> jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s <big>\(\delta=0</math> jsou určeny tzv. '''nestředové kuželosečky''' (např. [[Parabola (matematika)|parabola]]). Pro <big>\(\delta\neq 0</math> se jedná o '''kuželosečky středové''' (např. [[elipsa]]).  
+
Je-li <big>\(\Delta\neq 0\)</big>, pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro <big>\(\Delta=0\)</big> jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s <big>\(\delta=0\)</big> jsou určeny tzv. '''nestředové kuželosečky''' (např. [[Parabola (matematika)|parabola]]). Pro <big>\(\delta\neq 0\)</big> se jedná o '''kuželosečky středové''' (např. [[elipsa]]).  
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|rowspan="2"|'''Rozdělení kuželoseček'''
|rowspan="2"|'''Rozdělení kuželoseček'''
-
|colspan="2"|<big>\(\delta\neq 0</math> <br />''středové kuželosečky''
+
|colspan="2"|<big>\(\delta\neq 0\)</big> <br />''středové kuželosečky''
-
|rowspan="2" colspan="3"|<big>\(\delta=0</math> <br />''nestředové kuželosečky''
+
|rowspan="2" colspan="3"|<big>\(\delta=0\)</big> <br />''nestředové kuželosečky''
|-
|-
-
|<big>\(\delta>0</math>
+
|<big>\(\delta>0\)</big>
-
|<big>\(\delta<0</math>
+
|<big>\(\delta<0\)</big>
|-
|-
-
|rowspan="2"|<big>\(\Delta\neq 0</math> <br />''vlastní kuželosečky''
+
|rowspan="2"|<big>\(\Delta\neq 0\)</big> <br />''vlastní kuželosečky''
-
|<big>\(\Delta S < 0</math> <br />''reálná [[elipsa]]''
+
|<big>\(\Delta S < 0\)</big> <br />''reálná [[elipsa]]''
|rowspan="2"|[[hyperbola]]
|rowspan="2"|[[hyperbola]]
|rowspan="2" colspan="3"|[[parabola (matematika)|parabola]]
|rowspan="2" colspan="3"|[[parabola (matematika)|parabola]]
|-
|-
-
|<big>\(\Delta S > 0</math> <br />''imaginární [[elipsa]]''
+
|<big>\(\Delta S > 0\)</big> <br />''imaginární [[elipsa]]''
|-
|-
-
|<big>\(\Delta=0</math> <br />''nevlastní kuželosečky''
+
|<big>\(\Delta=0\)</big> <br />''nevlastní kuželosečky''
|dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních [[přímka|přímek]] s reálným průsečíkem v [[nekonečno|nekonečnu]]
|dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních [[přímka|přímek]] s reálným průsečíkem v [[nekonečno|nekonečnu]]
|dvě reálné [[různoběžky]]
|dvě reálné [[různoběžky]]
-
|<big>\(a_{13}^2 - a_{11}a_{33}<0</math> <br />dvě různé reálné [[rovnoběžky]]
+
|<big>\(a_{13}^2 - a_{11}a_{33}<0\)</big> <br />dvě různé reálné [[rovnoběžky]]
-
|<big>\(a_{13}^2 - a_{11}a_{33} = 0</math> <br />dvě splývající [[rovnoběžky]]
+
|<big>\(a_{13}^2 - a_{11}a_{33} = 0\)</big> <br />dvě splývající [[rovnoběžky]]
-
|<big>\(a_{13}^2 - a_{11}a_{33} > 0</math> <br />dvě imaginární [[rovnoběžky]]
+
|<big>\(a_{13}^2 - a_{11}a_{33} > 0\)</big> <br />dvě imaginární [[rovnoběžky]]
|-
|-
|}
|}

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Druhy kuželoseček

Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s pláštěm rotačního kuželu (tzv. kuželová plocha), přičemž rovina neprochází jeho vrcholem.

Obsah

Typy kuželoseček

Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice. Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola. Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná. Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu. Conic sections 2n.png
(A: parabola, B: elipsa a kružnice, C: hyperbola)

Degenerované kuželosečky

Za kuželosečku bývá často považován také průnik kuželové plochy s rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Takovéto kuželosečky označujeme jako degenerované (nevlastní, singulární), neboť podle polohy roviny a osy kuželové plochy dochází k redukci kuželosečky na bod, přímku nebo dvě přímky. Kuželosečky, které nejsou degenerované, tzn. kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu, označujeme jako vlastní (regulární) kuželosečky.

Algebraické vyjádření

Každou kuželosečku lze vyjádřit rovnicí

\(a_{11} x^2 + 2 a_{12}xy + a_{22} y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0\),

kde koeficienty \(a_{ij}\) jsou reálná čísla, přičemž \(a_{ij}=a_{ji}\). Tato rovnice je algebraickou rovnicí druhého stupně v \(x\) a \(y\).

Invarianty

Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty. Uvedená rovnice má tři invarianty:

  • determinant kuželosečky
\(\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)
  • determinant kvadratických členů
\(\delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\)
  • třetím invarientem je
\(S = a_{11} + a_{22}\)

Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty \(a_{ij}\), avšak uvedené invarianty se nezmění.

Klasifikace kuželoseček podle invariantů

Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých křivek, které jsou touto rovnicí určeny. Je-li \(\Delta\neq 0\), pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro \(\Delta=0\) jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s \(\delta=0\) jsou určeny tzv. nestředové kuželosečky (např. parabola). Pro \(\delta\neq 0\) se jedná o kuželosečky středové (např. elipsa).

Rozdělení kuželoseček \(\delta\neq 0\)
středové kuželosečky 		\(\delta=0\)
nestředové kuželosečky
\(\delta>0\) \(\delta<0\)
\(\Delta\neq 0\)
vlastní kuželosečky 		\(\Delta S < 0\)
reálná elipsa 		hyperbola parabola
\(\Delta S > 0\)
imaginární elipsa
\(\Delta=0\)
nevlastní kuželosečky 		dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních přímek s reálným průsečíkem v nekonečnu dvě reálné různoběžky \(a_{13}^2 - a_{11}a_{33}<0\)
dvě různé reálné rovnoběžky 		\(a_{13}^2 - a_{11}a_{33} = 0\)
dvě splývající rovnoběžky 		\(a_{13}^2 - a_{11}a_{33} > 0\)
dvě imaginární rovnoběžky

Související články

Externí odkazy



Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Ku%C5%BEelose%C4%8Dka“