Metrický prostor

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Metrický prostor je matematická struktura, pomocí které lze formálním způsobem definovat pojem vzdálenosti. Na metrických prostorech se poté definují další topologické vlastnosti jako např. otevřenost a uzavřenost množin, jejichž zobecnění pak vede na ještě abstraktnější matematický pojem topologického prostoru.

Historie

Maurice Fréchet zavedl pojem metrického prostoru ve své práci Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.

Neformální úvod

Pojem "metrický prostor" vznikl proto, aby se některé pojmy (definované pomocí vzdálenosti bodů na reálné ose) daly zavést pro širší skupinu matematických objektů. Příkladem takových pojmů jsou:

• Otevřené a uzavřené množiny
• Spojité zobrazení
• Cauchyovská a konvergentní posloupnost
• Kompaktní množina

Tyto pojmy mají své definice na reálné ose, které silně využívají pojem "vzdálenost" (tedy absolutní hodnota rozdílu dvou reálných čísel). Lze je však zobecnit na jakoukoli množinu, kde je pojem "vzdálenost" nějak definovaný, například množinu bodů v rovině a prostoru. Nebo množinu spojitých funkcí na intervalu, kde vzdáleností je maximum jejich rozdílu. Pak se lze ptát, zda je nějaká množina funkcí uzavřená, zda posloupnost funkcí konverguje apod. Jelikož studium těchto analogií (mezi reálnou osou a složitejšími množinami) přináší mnoho užitečných výsledků, jsou formalizovány pojmem "Metrický prostor", což je množina spolu se zobrazením, které každé dvojici bodů přiřadí tzv. metriku. Pojmy "metrika" a "vzdálenost" se při neformálním vyjadřování užívají záměnně, ale pojem "metrika" se snaží zdůraznit, že může jít o libovolné zobrazení splňující axiomy níže, nejen o vzdálenost v klasickém smyslu. Na téže množině (např. body v rovině) lze zavést několik různých metrik.

Definice

Metrický prostor je dvojice \((\mathcal{M}, \rho)\), kde \(\mathcal{M}\) je libovolná neprázdná množina a \(\rho\) je tzv. metrika, což je zobrazení

\(\rho: \mathcal{M} \times \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}\),

které splňuje následující axiomy (pro libovolná \(x, y, z \in \mathcal{M}\)):

1. Axiom nezápornosti: \(\rho (x, y) \ge 0 \)
2. Axiom totožnosti: \(\rho (x, y) = 0 \iff x = y \)
3. Axiom symetrie: \(\rho (x, y) = \rho (y, x) \,\! \)
4. Trojúhelníková nerovnost: \(\rho (x, z) \le \rho (x, y) + \rho (y, z)\)

Závislosti axiomů

Tyto axiomy nejsou nezávislé, nezápornost totiž vyplývá z ostatních tří axiomů: \( 2\rho (x, y) = \rho(x,y)+\rho(x,y) \ge \rho (x,x)=0\). Nahradíme-li trojúhelníkovou nerovnost pozměněným tvarem

4*. \(\rho (x, z) \le \rho (z, y) + \rho (y, x)\),

pak nezápornost vyplývá přímo z axiomu 4* a dále z axiomů 2 a 4* vyplývá symetrie. Hodnota \(\rho(x,y) \,\!\) bývá nazývána vzdáleností bodů \( x,y \,\! \) v metrice \(\rho \,\!\). Vynecháme-li v axiomu 2 implikaci zleva doprava (tj. připustíme, aby dva různé body měly nulovou vzdálenost) a ponecháme tak pouze rovnost \(\rho (x, x) = 0\), nazýváme vzniklé zobrazení pseudometrikou. Vynecháme-li 4. axiom, nazýváme vzniklé zobrazení semimetrikou.

Příklady

Metriky v Rⁿ

Množina reálných čísel spolu s metrikou \(\rho (x, y) = |x - y|\) (absolutní hodnota), kde \(x,y\) jsou libovolné body množiny \(\mathbb{R}\), tvoří úplný metrický prostor. Na euklidovském prostoru \(\mathbb{R}^n\) (tj. v rovině, v prostoru, případně ve vícerozměrném prostoru) lze definovat metriku mnoha způsoby, z nichž nejběžnější jsou:

• Na množině \(\mathbb{R}^n\) lze definovat tzv. euklidovskou metriku, která vyjadřuje délku úsečky mezi oběma body. Tento metrický prostor se nazývá euklidovský prostor dimenze \(n\) a označuje se \(E_n\). Euklidovská metrika je definována následujícím vztahem (viz též Pythagorova věta):

  \(\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \sqrt{ {(x_1 - y_1)}^2 + {(x_2 - y_2)}^2 + \cdots + {(x_n - y_n)}^2 }\)

• tzv. součtová či manhattanská metrika (podle vzdálenosti, kterou je třeba ujít mezi dvěma křižovatkami na Manhattanu, mezi kterými se lze pohybovat jen po na sebe kolmých ulicích ve směru obou os).

  \(\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + \cdots + |x_n - y_n|\)

• tzv. maximová metrika:

  \(\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \max\{ |x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|, \ldots, |x_n - y_n| \}\)

Příklady metrik na množinách funkcí

• Metrickým prostorem \(C(\langle a, b\rangle)\) nazýváme prostor všech spojitých funkcí na intervalu \(\langle a, b\rangle\,\!\) s metrikou

  \(\rho (f,g) = \max_{a \leq x \leq b} {|g(x) - f(x)|}\)

• Další možnou metrikou v prostoru spojitých funkcí na intervalu \((a, b)\) je integrální metrika (pak se tento prostor nazývá L_p prostor)

  \(\rho(f,g)= {\left[\int_a^b {\left|g(x)-f(x)\right|}^p \mathrm{d}x\right]}^\frac{1}{p}\)

Příklady na diskrétních množinách

• Na libovolné neprázdné množině (ovšem většina užitečných aplikací se týká diskrétních množin) lze zavést diskrétní metriku takto:

  \(\rho (x,x) = 0\) a \(\rho (x,y) = 1\) pro \(x \neq y\)

• Levenshteinova vzdálenost vyjadřuje podobnost (resp. rozdílnost) dvou textových řetězců, kterou vyjadřuje jako počet změn (tj. nahrazení, vložení nebo vypuštění znaku), které jsou potřeba k transformaci jednoho řetězce v druhý.
• Délka nejkratší cesty v grafu je metrikou na vrcholech tohoto grafu (který musí být neorientovaný a spojitý).

Další příklady

• V každém Riemannově prostoru je možné definovat vzdálenosti bodů.

Porovnání metrik

Mějme na neprázdné množině \(\mathbf{M}\) dvě libovolné metriky \(\rho_1, \rho_2\). Následující výroky jsou ekvivalentní:

• každá množina \(\mathbf{X} \subset \mathbf{M}\) otevřená v metrice \(\rho_1\) je otevřená také v metrice \(\rho_2\)
• každá množina \(\mathbf{X} \subset \mathbf{M}\) uzavřená v metrice \(\rho_1\) je uzavřená také v metrice \(\rho_2\)
• pro každé \(\mathbf{X} \subset \mathbf{M}\) platí \(\mathrm{cl}_2 \mathbf{X} \subset \mathrm{cl}_1 \mathbf{X}\), kde \(\mathrm{cl}_i \mathbf{X}\) značí uzávěr množiny \(\mathbf{X}\) vzhledem k metrice \(\rho_i\).
• pro každé \(\mathbf{X} \subset \mathbf{M}\) platí \(\mathrm{int}_1 \mathbf{X} \subset \mathrm{int}_2 \mathbf{X}\), kde \(\mathrm{int}_i \mathbf{X}\) značí vnitřek množiny \(\mathbf{X}\) vzhledem k metrice \(\rho_i\).
• každé okolí bodu \(x \in \mathbf{M}\) v metrice \(\rho_1\) je okolím také v metrice \(\rho_2\).
• identické zobrazení metrického prostoru \((\mathbf{M},\rho_1)\) na \((\mathbf{M},\rho_2)\) je spojité.
• každá posloupnost \(\{x_n\}\) bodů z \(\mathbf{M}\), která v metrickém prostoru \((\mathbf{M},\rho_2)\) konverguje k x, konverguje ke stejné limitě také v prostoru \((\mathbf{M},\rho_1)\).

Uvedená tvrzení definují vztah mezi metrikami \(\rho_1\) a \(\rho_2\). Je-li přitom \(\rho_1 \ne \rho_2\), pak o takto definovaných metrikách říkáme, že \(\rho_2\) je silnější než \(\rho_1\) (nebo \(\rho_1\) je slabší než \(\rho_2\)).

Ekvivalence metrik

O metrikách \(\rho_1, \rho_2\) na \(\mathbf{M}\) řekneme, že jsou ekvivalentní tehdy, když každá množina \(\mathbf{X} \subset \mathbf{M}\) je otevřená v metrice \(\rho_1\) právě tehdy, když je otevřená v metrice \(\rho_2\). Jsou-li metriky\(\rho_1, \rho_2\) ekvivalentní, pak pro každou množinu \(\mathbf{X} \subset \mathbf{M}\) platí \(\mathrm{cl}_1 \mathbf{X} = \mathrm{cl}_2 \mathbf{X}\), kde \(\mathrm{cl}_i \mathbf{X}\) je uzávěr množiny \(\mathbf{X}\) v metrice \(\rho_i\). Jestliže jsou metriky \(\rho_1, \rho_2\) ekvivalentní, pak pro každou množinu \(\mathbf{X} \subset \mathbf{M}\) také platí \(\mathrm{int}_1 \mathbf{X} = \mathrm{int}_2 \mathbf{X}\), kde \(\mathrm{int}_i \mathbf{X}\) je vnitřek množiny \(\mathbf{X}\) v metrice \(\rho_i\).

Hlavní pojmy

• Prostor M je totálně omezený, pokud pro každé kladné číslo \(\epsilon \,\! \) existuje konečná množina \(S \subseteq M \) taková, že každý prvek M je k nějakému prvku S blíže, než \(\epsilon \,\! \). Množině \(S\) se říká \(\epsilon\)-síť. Prostor M je omezený, pokud existuje kladné číslo K takové, že vzdálenost libovolné dvojice prvků je menší, než K.
• Konvergence posloupnosti a spojitost zobrazení se definuje analogicky, jako na reálných číslech.
• Kompaktní množina je množina, z jejíhož každého pokrytí otevřenými množinami lze vybrat konečné pokrytí.
• Uzavřený podprostor se definuje podobně, jako na reálných číslech, ovšem prostor může být uzavřený vůči některým svým nadprostorům a otevřený vůči jiným. Je-li uzavřený vůči všem, pak se nazývá absolutně uzavřený
• Úplný metrický prostor je metrický prostor, v němž každá cauchyovská posloupnost je konvergentní. Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.

Hlavní výsledky

• Každý normovaný vektorový prostor je metrickým prostorem.

Zobecnění v topologii

Metrický prostor je velmi obecná struktura umožňující pracovat jednotně s mnoha různými druhy množin (množiny bodů, množiny funkcí apod.). Přesto je možno mnohé pojmy z metrických prostorů (například "uzavřená množina" nebo "spojité zobrazení") definovat ještě podstatně obecněji v pojmu topologický prostor. Každý metrický prostor je zároveň topologickým prostorem, ovšem nikoli opačně. Topogické prostory tedy umožňují studovat vlastnosti ještě širší skupiny množin, než metrické prostory. Tím se zabývá oblast matematiky zvaná topologie.