Trojúhelníková nerovnost

Z Multimediaexpo.cz

Trojúhelníková nerovnost v matematice tvrdí, že součet délek dvou stran trojúhelníku není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je větou v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, L^p prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Obsah [skrýt] 1 Reálná a komplexní čísla 1.1 Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech 2 Normovaný vektorový prostor 2.1 Lp prostory 3 Metrický prostor 4 Důsledky

Reálná a komplexní čísla

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel $x$ a $y$ ve tvaru

$|x+y|\le |x|+|y|$

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

$x\le |x|$ a zároveň

$-x\le |x|$.

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla $x$ a $y$ a sečteme-li je, dostáváme

$x+y\le |x|+|y|$ a

$-x-y\le |x|+|y|$.

Z definice absolutní hodnoty $|x+y|$ víme, že může nabývat jen hodnot $x+y$ nebo $-x-y$. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostor

V normovaném vektorovém prostoru $V$ s normou $\Vert \cdot \Vert$ má trojúhelníková nerovnost tvar

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

pro každé dva vektory $x$ a $y$ z $V$.

L^p prostory

V L^p prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že L^p prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostor

V metrickém prostoru $M$ s metrikou $d$ má trojúhelníková nerovnost tvar:

$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

to jest, že vzdálenost $x$ a $z$ není větší než součet vzdálenosti z $x$ do $y$ a vzdálenosti z $y$ do $z$.

Důsledky

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

$||x|-|y||\le |x-y|$ pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

$|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |\le \Vert x-y\Vert$ pro normované vektorové prostory a

$|d(x,y)-d(x,z)|\le d(y,z)$ pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce $d(x,\cdot )$ jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii