Hölderova nerovnost

Z Multimediaexpo.cz

Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání L^p prostorů.

Obsah

1 Znění
2 Důležité speciální případy
- 2.1 Aritmetická míra
- 2.2 L^p prostory
3 Důkaz

Znění

Na prostoru s mírou $(X, Σ, μ)$ mějme μ-měřitelné funkce $f, g$ na $X$ . Dále nechť existují čísla $1 \leq p, q \leq \infty$ , taková, že: $1 / p + 1 / q = 1$ . Pak platí:

‖ f \cdot g ‖_{1} \leq ‖ f ‖_{p} \cdot ‖ g ‖_{q}

.

Důležité speciální případy

Pro následující případy předpokládejme, že $1 < p, q < \infty$ a $1 / p + 1 / q = 1$ .

Aritmetická míra

V případě $n$ -rozměrného Eukleidovského prostoru $a_{k}, b_{k} \in C^{n}$ , s množinou $X = {1, . . ., n}$ a $μ$ aritmetickou mírou dostáváme:

\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} b_{k} | \leq {(\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} |^{p})}^{1 / p} {(\sum_{k = 1}^{n} | b_{k} |^{q})}^{1 / q}

.

Rovnost nastává, právě když $| b_{k} | = c | a_{k} |^{p - 1}$ .

L^p prostory

Pokud $f \in L^{p} (X), g \in L^{q} (X)$ , tak $f \cdot g \in L^{1} (X)$ a navíc:

\int_{X} | f \cdot g | d μ \leq {(\int_{X} | f |^{p} d μ)}^{1 / p} \cdot {(\int_{X} | g |^{q} d μ)}^{1 / q}

Pro $p = q = 2$ pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.

Důkaz

Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a $x \in< 0, 1 >$ platí $x r + (1 - x) s \geq r^{x} s^{1 - x}$ .
Rovnost nastává, právě když r=s nebo $x \in {0, 1}$ . Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii