Centrální moment

Z Multimediaexpo.cz

Centrální moment je pojem z matematické statistiky. Pro přirozené číslo $k$ je k-tý centrální moment jisté reálné číslo charakterizující rozdělení náhodné veličiny. K-tý centrální moment se označuje ${\mu }_k$.

Obsah [skrýt] 1 Definice 1.1 Označení centrálních momentů 2 Vlastnosti 3 Výběrový centrální moment 4 Reference

Definice

K-tý centrální moment náhodné veličiny $X$ je definován vzorcem

${\mu }_k=\mathrm{E}[(X-\mu {)}^k]$,

kde $\mu$ je střední hodnota dané veličiny (pokud má vzorec smysl).

Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát

${\mu }_k=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x_i-\mu {)}^k{p}_i$,

kde $p_i$ je pravděpodobnost, že $X$ nabývá hodnoty $x_i$.

Pro spojité náhodné veličiny na reálných číslech lze psát

${\mu }_k={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x-\mu {)}^{k}f(x)\mathrm{d}x$,

kde $f(x)$ je hustota rozdělení dané veličiny.

Označení centrálních momentů

První centrální moment je vždy roven 0.

Druhý centrální moment se nazývá rozptyl a označuje se symbolem ${\sigma }^2$ nebo $\mathrm{var}X$.

Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice šikmosti a špičatosti.

Vlastnosti

Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.

${\mu }_k(X+c)={\mu }_k(X)$

Pro násobení konstantou platí

${\mu }_k\left(cX\right)=c^k{\mu }_k(X)$

Pro $k\le 3$ a nezávislé náhodné veličiny $X,Y$ platí

${\mu }_k(X+Y)={\mu }_k(X)+{\mu }_k(Y)$

Mezi centrálními momenty a obecnými momenty je vztah

${\mu }_k=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})(-1{)}^{k-i}{\mu }^{k-i}{\mu }_i^{\prime }$,

kde $\mu$ je střední hodnota a ${\mu }_i^{\prime }$ je i-tý obecný moment.

Výběrový centrální moment

Výběrový centrální moment je definován vzorcem

$m_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^k$

Výběrový centrální moment je nevyvážený odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:

Reference

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii