The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 24, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Analytická geometrie

Z Multimediaexpo.cz

Analytická geometrie (také souřadnicová geometrie nebo kartézská geometrie) je část geometrie, která zkoumá geometrické útvary v euklidovské geometrii pomocí algebraických a analytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary v prostoru vyjadřovány čísly a rovnicemi ve zvolených souřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s lineární algebrou.

Obsah

Historie

Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637 ve svém spisu La Géométrie.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru

V euklidovském prostoru obvykle máme danou soustavu souřadnic \(\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\) bodů i vektorů. Velikost vektoru \((v_1, v_2,\ldots,v_n)\) je \(\sqrt{v_1^2+\ldots+v_n^2}\) a skalární součin vektorů \((v_1, v_2,\ldots, v_n)\cdot (w_1,\ldots,w_n)=v_1 w_1 + \ldots v_n w_n\). Přímky jsou dány jako množiny \(\{a+t\mathbf{v}; \,t\in\R\}\) kde a je bod a v vektor. V dvourozměrném prostoru je navíc definována kružnice jako množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu \((x_0, y_0)\) (středu kružnice). Její rovnice je \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\).

Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří model pro euklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu a křivky

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
Bod A leží na křivce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice křivky získáme rovnost.

\(A[x_1, \ldots, x_n], p(y_1, \ldots, y_n)=0, A \in p \Leftrightarrow p(x_1, \ldots, x_n)=0\)

Vzájemná poloha bodu a přímky

Pokud bod leží na přímce, rozděluje ji takto na dvě polopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu rovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bod A leží na přímce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice přímky získáme rovnost.

\(A[x_1, \ldots, x_n], p: a_1 y_1+ \ldots + a_n y_n + d = 0 , A \in p \Leftrightarrow a_1 x_1+ \ldots + a_n x_n + d = 0 \)

Leží-li bod mimo přímku, je možno určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice

Obecný bod může ležet

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. mocnost \(m\) bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem \({(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2=r^2\), pak mocnost bodu \([x^\prime,y^\prime]\) k této kružnici se určí jako

\(m = {(x^\prime-x_0)}^2+{(y^\prime-y_0)}^2-r^2\)

Pro \(m=0\) leží bod na kružnici, pro \(m>0\) leží bod vně kružnice a pro \(m<0\) uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů \(x,y\) splňujících rovnice

\(y = k_1 x+q_1\)
\(y = k_2 x+q_2\)

Podmínka rovnoběžnosti je \(k_1 = k_2\). Přímky jsou kolmé, pokud jejich směrnice \(k_1, k_2\) splňují podmínku \(k_1 k_2+1=0\).

Průsečík dvou přímek získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

\(x_P = \frac{q_1-q_2}{k_2-k_1}\quad y_P = \frac{q_1 k_2 - q_2 k_1}{k_2-k_1}\)

V třírozměrném prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Dvě přímky mohou být zadané rovnicemi

\(a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0,\quad a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0\quad\).

a

\(a_3 x+b_3 y+c_3 z+d_3=0,\quad a_4 x+b_4 y+c_4 z+d_4=0\quad\)

(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu). Tyto dvě přímky se protínají, pokud matice

\(A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{pmatrix}\)

je singulární. Přímky jsou totožné, pokud tato matice má hodnost 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třemi sloupci A má hodnost 2.

Vzájemná poloha dvou kružnic

Jako vzájemná poloha dvou kružnic se v geometrii označuje počet průsečíků a poloha dvou kružnic. Tato poloha je závislá na velikosti poloměrů jednotlivých kružnic \(r_1\), \(r_2\) a vzdálenosti jejich středů s.

Vzájemné polohy dvou kružnic.

Kružnice

  • jsou soustředné, pokud s = 0 (viz kružnice k a k1)
    • pokud zároveň \(r_1 = r_2\), pak jsou kružnice totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů
    • v ostatních případech (\(r_1 \ne r_2\)) nemají společný bod.
  • nemají společný bod (menší kružnice leží celá uvnitř větší), pokud \(0 < s < \left | r_1 - r_2 \right |\) (viz kružnice k a k2)
  • mají vnitřní dotyk, pokud \(s = \left | r_1 - r_2 \right |\) (viz kružnice k a k3)
  • se protínají (mají 2 společné průsečíky), pokud \(\left | r_1 - r_2 \right | < s < r_1 + r_2\) (viz kružnice k a k4)
  • mají vnější dotyk, pokud s = r1 + r2 (viz kružnice k a k5)
  • nemají společný bod (leží vně), pokud s > r1 + r2 (viz kružnice k a k6)

Jsou-li kružnice zadány svými rovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající soustavy rovnic.

Vzájemná poloha přímky a kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru \(r\).

  • \(s > r\): přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice nebo nesečna)
  • \(s = r\): přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku
  • \(s < r\): přímka se nazývá sečna a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr)

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí \(y=kx+q\) a kružnici se středem v počátku a rovnicí \(x^2+y^2=r^2\), pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této soustavy rovnic, jsou

\(\left[-\frac{qk}{1+k^2}\pm \frac{1}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2},\; \frac{q}{1+k^2}\pm\frac{k}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2}\right]\)

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen \(D=r^2(1+k^2)-q^2\). Pro \(D>0\) protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je sečnou kružnice). Pro \(D=0\) mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je tečnou kružnice). Pro \(D<0\) přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).

Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru

Dvě různé roviny \(\rho, \sigma\) v trojrozměrném prostoru, které mají společnou přímku \(p\), se nazývají různoběžné a značí \(\rho\nparallel\sigma\). Přímka \(p\) se nazývá průsečnice obou rovin \(\rho\) a \(\sigma\).

Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), se označují jako rovnoběžné.

Pokud jsou roviny popsány rovnicemi \(a_1 x + b_1 y + c_1 z +d_1 =0\) a \(a_2 x + b_2 y + c_2 z +d_2 =0\), pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Analytická geometrie
Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Analytick%C3%A1_geometrie“