dokončit zcela nový balíček 1 000 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...

Šťastné číslo
Z Multimediaexpo.cz
Šťastné číslo (anglicky happy number) je v matematice definováno následujícím způsobem: vezme se libovolné kladné celé číslo, nahradí se součtem druhých mocnin svých číslic a tento proces se opakuje, dokud se nedojde k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, se nazývají šťastná, ostatní pak nešťastná.
Formálněji řečeno: mějme číslo
Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly.
Obsah[skrýt] |
Příklad
Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:
- 72 = 49
- 42 + 92 = 97
- 92 + 72 = 130
- 12 + 32 + 02 = 10
- 12 + 02 = 1
číslo 1663 je také šťastné číslo:
- 12 + 62 + 62 + 32 = 82
- 82 + 22 = 68
- 62 + 82 = 100
- 12 + 02 + 02 = 1
i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné (například triskaidekafobiky), je dle této definice šťastné číslo:
- 12 + 32 = 10
- 12 + 02 = 1
Chování posloupnosti
Když
- 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...
Pokud
Pro
tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. V číslech menších než 1000 je číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.
- V rozmezí 100 až 243 největší hodnotu, a to 163, dává číslo 199.
- V rozmezí 100 až 163 největší hodnotu, a to 107, dává číslo 159.
- V rozmezí 100 až 107 největší hodnotu, a to 50, dává číslo 107.
U čísel v intervalech [244,999], [164,243], [108,163] a [100,107] je vidět, že každé číslo větší než 99 se tímto procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem se začne, nakonec vznikne číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1,99] je buď šťastné nebo se zacyklí.
Šťastná prvočísla
Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou:
- 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (Sekvence A035497 v OEIS).
Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru
- Všechna tato čísla mají nejméně 2 číslice.</span>
- První číslicí je vždy 1.
- Poslední číslicí je vždy 3 nebo 9.</span>
- Všechny další číslice jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní).
- Posloupnost při přidání 3 je: 12 + 32 = 10 → 12 = 1
- Posloupnost při přidání 9 je: 12 + 92 = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1
Palindromické prvočíslo 10150006 + 7426247×1075000 + 1, které má 150007 číslic, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají
Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce 2005.
Šťastná čísla v jiné než desítkové soustavě
Definice šťastných čísel je závislá na desítkové soustavě. Tuto definici lze rozšířit na ostatní číselné soustavy.
K vyznačení čísel v jiných soustavách je možné používat číslo v pravém dolním indexu, které představuje zvolenou soustavu. Například
jsou šťastná pro jakoukoliv číselnou soustavu
Ze stejného důvodu jako výše se lze přesvědčit, že každé nešťastné číslo v číselné soustavě
.
Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než
Ve dvojkové soustavě jsou všechna čísla šťastná. Všechna čísla ve dvojkové soustavě menší než 10002 jsou totiž šťastná:
Dvojková soustava je tedy šťastná číselná soustava. Další takovou soustavou je soustava čtyřková.
Externí odkazy
- Šťastné číslo v encyklopedii MathWorld Happy Number -- from Wolfram MathWorld (anglicky)
- OEIS – A007770 (Happy numbers, anglicky)
[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|