Ve středu 26. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 1 000 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
FFresh emotion happy.png

Šťastné číslo

Z Multimediaexpo.cz

Graf šťastných čísel menších než 200

Šťastné číslo (anglicky happy number) je v matematice definováno následujícím způsobem: vezme se libovolné kladné celé číslo, nahradí se součtem druhých mocnin svých číslic a tento proces se opakuje, dokud se nedojde k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, se nazývají šťastná, ostatní pak nešťastná.

Formálněji řečeno: mějme číslo n=n0 a definujme posloupnost n1, n2, ... kde ni+1 je součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla ni. Poté n je šťastné právě tehdy, když existuje i takové, že ni=1.

Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly.

Obsah

[skrýt]

Příklad

Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:

72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1

číslo 1663 je také šťastné číslo:

12 + 62 + 62 + 32 = 82
82 + 22 = 68
62 + 82 = 100
12 + 02 + 02 = 1

i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné (například triskaidekafobiky), je dle této definice šťastné číslo:

12 + 32 = 10
12 + 02 = 1

Chování posloupnosti

Když n není šťastné, pak se jeho posloupnost nedostane k 1. Namísto toho se zacyklí (například pro číslo 4):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Pokud nm číslic, poté součet druhých mocnin jimi vyjádřených čísel může být nejvýše 81m (to nastane, pokud jsou všechny číslice devítky).
Pro m=4 a více je

n10m1>81m

tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. V číslech menších než 1000 je číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.

  • V rozmezí 100 až 243 největší hodnotu, a to 163, dává číslo 199.
  • V rozmezí 100 až 163 největší hodnotu, a to 107, dává číslo 159.
  • V rozmezí 100 až 107 největší hodnotu, a to 50, dává číslo 107.

U čísel v intervalech [244,999], [164,243], [108,163] a [100,107] je vidět, že každé číslo větší než 99 se tímto procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem se začne, nakonec vznikne číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1,99] je buď šťastné nebo se zacyklí.

Šťastná prvočísla

Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou:

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (Sekvence A035497 v OEIS).

Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru 10n+3 a 10n+9 pro n větší než 0 jsou šťastná. Je tomu tak proto, že:

  • Všechna tato čísla mají nejméně 2 číslice.</span>
  • První číslicí je vždy 1.
  • Poslední číslicí je vždy 3 nebo 9.</span>
  • Všechny další číslice jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní).
    • Posloupnost při přidání 3 je: 12 + 32 = 10 → 12 = 1
    • Posloupnost při přidání 9 je: 12 + 92 = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1

Palindromické prvočíslo 10150006 + 7426247×1075000 + 1, které má 150007 číslic, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají 12+72+42+22+62+22+42+72+12=176, což je šťastné číslo.

Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce 2005.

Šťastná čísla v jiné než desítkové soustavě

Definice šťastných čísel je závislá na desítkové soustavě. Tuto definici lze rozšířit na ostatní číselné soustavy.

K vyznačení čísel v jiných soustavách je možné používat číslo v pravém dolním indexu, které představuje zvolenou soustavu. Například 1002 představuje číslo 4 ve dvojkové soustavě. V každé číselné soustavě existují šťastná čísla. Například čísla

1b,10b,100b,1000b,...

jsou šťastná pro jakoukoliv číselnou soustavu b.

Ze stejného důvodu jako výše se lze přesvědčit, že každé nešťastné číslo v číselné soustavě b vede k zacyklení v číslech menších než 1000b. Využije se to, že když n<1000b, pak součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla n v soustavě b je menší nebo roven

3(b1)2.

Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než b3=1000b. Z toho lze usoudit, že jakmile se posloupnost dostane do čísla menšího než 1000b, zůstane v tomto rozmezí, a musí se tedy zacyklit (neboť čísel menších než 1000b je jen konečně mnoho) či se dostat na 1.

Ve dvojkové soustavě jsou všechna čísla šťastná. Všechna čísla ve dvojkové soustavě menší než 10002 jsou totiž šťastná:

11121121021
11021021
10121021
10021.

Dvojková soustava je tedy šťastná číselná soustava. Další takovou soustavou je soustava čtyřková.

Externí odkazy