V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Ideál (teorie okruhů)

Z Multimediaexpo.cz

Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi.

Obsah

Definice

Množina <math>\emptyset \neq I \subseteq R</math>, kde R je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti:

  • pro každé <math>a,b \in I</math> je také <math>a-b \in I</math>
  • pro každé <math>a \in I</math> a každé <math>r \in R</math> je také <math>r\cdot a \in I</math> resp. <math>a\cdot r \in I</math>

Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.


Nechť (R, +, •) je okruh, M je libovolná podmnožina množiny R. Potom průnik všech ideálů v R, které obsahují množinu M, je ideál v R, který se nazývá ideálem generovaným množinou a značí se [M]. Množina M se nazývá systém generátorů ideálu [M] a její prvky generátory tohoto ideálu.

Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál R.

Příklady ideálů

  • V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
  • Každá podmnožina tvaru <math>(a)=\{a\cdot r;r\in R\}</math> je ideál v R. Ideály tvaru (a) se nazývají hlavní ideály v R.
  • V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
  • Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (Q,+,•) tvoří celá čísla podokruh (Z,+,•). Ten však není ideálem v Q, neboť nesplňuje podmínku: pro každé <math>a \in I</math> a každé <math>r \in R</math> je také <math>r\cdot a \in I</math> resp. <math>a\cdot r \in I</math>. Stačí volit třeba <math> a = 3, r = { \frac{1}{2}} </math>, pak <math>3 \in Z</math> a <math> 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z </math>

Operace s ideály

  • průnik ideálů I,J je ideál <math>I\cap J</math>, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech I,J.
  • součet ideálů I,J je ideál <math>\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}</math>, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály I,J.
  • součin ideálů I,J je ideál <math>I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}</math>

Vlastnosti

  • Ideál I v okruhu R se nazývá maximální ideál, je-li <math>I \neq R</math> a pro každý ideál J, že <math>I\subseteq J</math>, je I = J nebo J = R.
  • Ideál I v okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže pro každé <math>a,b \in R</math> takové, že <math>a\cdot b \in I</math>, je buďto <math>a \in I</math> nebo <math>b \in I</math>.
  • Jsou-li <math>a_1, a_2, </math> … , <math>a_k</math> libovolné prvky z ideálu I v okruhu R, je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z R prvkem ideálu I, tj. <math>(\forall r_1, r_2, </math>… , <math> r_k \in R)</math> <math>a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <math> + a_kr_k \in I</math>.


Příklad:

V okruhu celých čísel Z máme určit ideál I = [96, 14]. Snažíme se v tomto ideálu najít nenulové číslo s co nejmenší absolutní hodnotou. Musí být 1 • 96 + (- 6) •14 = 12 ∈ I a též 1 • 14 + (- 1) •12 = 2 ∈ I . Podle druhé podmínky (viz výše) obsahuje I všechny celočíselné násobky čísla 2, tj. všechna sudá čísla. Protože podle definice ideálu (Podmnožina I okruhu R je ideálem v právě tehdy, když je neprázdná a platí pro ni podmínky viz. výše) množina všech sudých čísel tvoří zřejmě ideál v Z, je I = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

Týž ideál může mít různé systémy generátorů. Např. ideál I z předchozího příkladu je generován číslem 2, tj. I = [2], a též například I = [6, 8, -10].


Platí věta: Každý maximální ideál je prvoideál. Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však R je číselný okruh (tj. podokruh okruhu komplexních algebraických celých čísel), je každý prvoideál v R maximálním ideálem.

  • Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět okruh.
  • Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu obor integrity.
  • Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne těleso.

Věta

Nechť R je okruh s jednotkovým prvkem a nechť <math> M = \{a_1, a_2, </math>… <math> , a_k \sube R\}</math>. Pak ideál [M] se skládá právě ze všech prvků tvaru <math>(\forall r_1, r_2, </math>… , <math> r_k \in R)</math> <math>a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <math> + a_kr_k \in I</math>, tj. [M] = I, kde <math>I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <math> + a_kr_k; r_1, r_2, </math>… <math> , r_k\in R\}</math>.


Příklad užití této věty

V okruhu Z[x] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [x, 2]. Podle věty výše (v Z[x] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: <math>x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) </math> kde <math>f_1(x),f_2(x) \in Z[x]</math>.

Tedy [x, 2] je množina všech polynomů <math>a_0 + a_1x + </math>… <math> + a_x x^n \in Z[x]</math>, jejíž člen a0 je sudé číslo. Ideál [x, 2] je tudíž vlastní podmnožina v Z[x].

Literatura

BLAŽEK, Jaroslav, Milan KOMAN a Blanka VOJTÁŠKOVÁ. Algebra a teoretická aritmetika. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 258 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství).

Související články


Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Ide%C3%A1l_(teorie_okruh%C5%AF)“