Trojúhelníková nerovnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 24. 10. 2014, 09:24

Trojúhelníková nerovnost v matematice tvrdí, že součet délek dvou stran trojúhelníku není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je větou v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, L^p prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Obsah

1 Reálná a komplexní čísla
- 1.1 Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech
2 Normovaný vektorový prostor
- 2.1 L^p prostory
3 Metrický prostor
4 Důsledky

Reálná a komplexní čísla

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel <math>x</math> a <math>y</math> ve tvaru

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

<math>x \leq |x|</math> a zároveň

<math>-x \leq |x|</math>.

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla <math>x</math> a <math>y</math> a sečteme-li je, dostáváme

<math>x + y \leq |x| + |y|</math> a

<math>- x - y \leq |x| + |y|</math>.

Z definice absolutní hodnoty <math>|x + y|</math> víme, že může nabývat jen hodnot <math>x + y</math> nebo <math>- x - y</math>. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostor

V normovaném vektorovém prostoru <math>V</math> s normou <math>\| \cdot \|</math> má trojúhelníková nerovnost tvar

pro každé dva vektory <math>x</math> a <math>y</math> z <math>V</math>.

L^p prostory

V L^p prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že L^p prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostor

V metrickém prostoru <math>M</math> s metrikou <math>d</math> má trojúhelníková nerovnost tvar:

to jest, že vzdálenost <math>x</math> a <math>z</math> není větší než součet vzdálenosti z <math>x</math> do <math>y</math> a vzdálenosti z <math>y</math> do <math>z</math>.

Důsledky

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

<math>\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|</math> pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

<math>\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq \|x - y\|</math> pro normované vektorové prostory a

<math>\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq d(y,z)</math> pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce <math>d(x, \cdot)</math> jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Trojúhelníková nerovnost|700}}
+'''Trojúhelníková nerovnost''' v [[Matematika|matematice]] tvrdí, že součet [[Délka|délek]] dvou [[Strana (geometrie)|stran]] [[trojúhelník]]u není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z ''A'' do ''B'' a pak do ''C'' není kratší než cesta z ''A'' přímo do ''C''. Tato [[nerovnost (matematika)|nerovnost]] je [[Matematická věta|větou]] v mnoha oblastech matematiky, např. [[Reálné číslo|reálných číslech]], [[Eukleidovský prostor|Euklidovském prostoru]], [[Lp prostor|L<sup>p</sup> prostorech]]. Slouží jako [[axiom]] pro zavedení pojmu [[normovaný vektorový prostor]] a [[metrický prostor]].
+== Reálná a komplexní čísla ==
+V [[Těleso (algebra)|tělese]] reálných a [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] platí trojúhelníková nerovnost pro [[Absolutní hodnota|absolutní hodnoty]] libovolných čísel <math>x</math> a <math>y</math> ve tvaru
+<math>|x + y| \leq |x| + |y|</math>
+=== Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech ===
+Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí
+<math>x \leq |x|</math> a zároveň
+<math>-x \leq |x|</math>.
+Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla <math>x</math> a <math>y</math> a sečteme-li je, dostáváme
+<math>x + y \leq |x| + |y|</math> a
+<math>- x - y \leq |x| + |y|</math>.
+Z definice absolutní hodnoty <math>|x + y|</math> víme, že může nabývat jen hodnot <math>x + y</math> nebo <math>- x - y</math>. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.
+== Normovaný vektorový prostor ==
+V [[Normovaný vektorový prostor|normovaném vektorovém prostoru]] <math>V</math> s [[Norma|normou]] <math>\| \cdot \|</math> má trojúhelníková nerovnost tvar
+<math>\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|</math>
+pro každé dva [[vektor]]y <math>x</math> a <math>y</math> z <math>V</math>.
+=== L<sup>p</sup> prostory ===
+V [[Lp prostor|L<sup>p</sup> prostorech]] se trojúhelníkové nerovnosti říká [[Minkowského nerovnost]]. Díky ní se ukazuje, že L<sup>p</sup> prostory jsou normované vektorové prostory.
+== Metrický prostor ==
+V [[Metrický prostor|metrickém prostoru]] <math>M</math> s [[Metrika|metrikou]] <math>d</math> má trojúhelníková nerovnost tvar:
+<math>d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z) </math>
+to jest, že vzdálenost <math>x</math> a <math>z</math> není větší než součet vzdálenosti z <math>x</math> do <math>y</math> a vzdálenosti z <math>y</math> do <math>z</math>.
+== Důsledky ==
+Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar
+<math>\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|</math> pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,
+<math>\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq  \|x - y\|</math> pro normované vektorové prostory a
+<math>\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq  d(y,z)</math> pro metrické prostory.
+Z těchto tvarů už plyne, že [[absolutní hodnota]], norma i [[Funkce (matematika)|funkce]] <math>d(x, \cdot)</math> jsou [[Lipschitzovská funkce|Lipschitzovské]], tedy i [[Spojitá funkce|spojité funkce]].
+{{Článek z Wikipedie}}
+[[Kategorie:Nerovnosti]]
 [[Kategorie:Trojúhelník]]