Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Úplný svaz
Z Multimediaexpo.cz
m (1 revizi) |
(+ Aktualizace) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
- | + | '''Úplný svaz''' je [[Matematika|matematický]] pojem z oboru [[teorie uspořádání]], který vymezuje mezi [[uspořádaná množina|uspořádanými množinami]] ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají [[Supremum|suprema]] a [[Infimum|infima]]). | |
+ | Na rozdíl od [[Svaz (matematika)|svazu]], kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny. | ||
+ | |||
+ | == Definice == | ||
+ | Množinu <big>\( X \,\! \)</big> uspořádanou [[Binární relace|relací]] <big>\( R \,\! \)</big> nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou [[Podmnožina|podmnožinu]] obsahuje i její supremum a infimum.<br /> | ||
+ | <big>\( ( \forall Y \subseteq X) (\exists i,s \in X) ( i = \inf\nolimits_R(Y) \land s = \sup\nolimits_R(Y) ) \,\! \)</big> | ||
+ | |||
+ | == Příklady a vlastnosti == | ||
+ | Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň [[Svaz (matematika)|svaz]]. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu). | ||
+ | |||
+ | Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné. | ||
+ | |||
+ | === Úplný svaz potenční algebry === | ||
+ | [[Potenční algebra]] (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.<br /> | ||
+ | Pokud je tedy <big>\( X = \mathbb{P}(X_0) \,\!\)</big> [[potenční množina]] a <big>\( Y \subseteq X \,\! \)</big> je nějakou množinou podmnožin <big>\( X_0 \,\!\)</big> | ||
+ | * <big>\( inf_{\subseteq}(Y) = \bigcap Y \,\! \)</big> | ||
+ | * <big>\( sup_{\subseteq}(Y) = \bigcup Y \,\! \)</big> | ||
+ | |||
+ | === Svazy, které nejsou úplné === | ||
+ | Úplný svaz musí mít [[největší prvek]] a [[nejmenší prvek]] – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny <big>\( X \,\! \)</big>). | ||
+ | |||
+ | Z toho vyplvývá, že například [[Přirozené číslo|přirozená čísla]] nebo [[Reálné číslo|reálná čísla]] při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady [[Svaz (matematika)|svazu]], který není úplným svazem. | ||
+ | |||
+ | === Zúplnění svazu reálných čísel === | ||
+ | O reálných číslech <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> víme, že se jedná o svaz, navíc jejich [[Omezená množina|omezené množiny]] mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz. | ||
+ | |||
+ | Uvažujme o [[Množina|množině]], která vznikne z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> jejich rozšířením o dva prvky: <big>\( +\infty \,\! \)</big> je větší, než všechny čísla z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> a <big>\( -\infty \,\! \)</big> je menší, než všechna čísla z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big>. (Díky [[Tranzitivní relace|tranzitivitě]] uspořádání platí také, že <big>\( -\infty < +\infty \,\! \)</big> ). | ||
+ | |||
+ | Získali jsme množinu <big>\( \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \,\! \)</big>, která již je úplný svaz: | ||
+ | * omezené množiny z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> mají supremum a infimum v <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> | ||
+ | * zdola neomezená množina z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> má infimum <big>\( -\infty \,\! \)</big> | ||
+ | * shora neomezená množina z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> má supremum <big>\( +\infty \,\! \)</big> | ||
+ | * množina obsahující <big>\( -\infty \,\! \)</big> má infimum <big>\( -\infty \,\! \)</big> | ||
+ | * množina obsahující <big>\( +\infty \,\! \)</big> má supremum <big>\( +\infty \,\! \)</big> | ||
+ | |||
+ | == Související články == | ||
+ | * [[Svaz (matematika)|Svaz]] | ||
+ | * [[Potenční algebra]] | ||
+ | * [[Reálné číslo|Reálná čísla]] | ||
+ | * [[Dedekindův řez]] | ||
+ | |||
+ | == Externí odkazy == | ||
+ | |||
+ | {{Článek z Wikipedie}} | ||
[[Kategorie:Algebraické struktury]] | [[Kategorie:Algebraické struktury]] | ||
[[Kategorie:Teorie uspořádání]] | [[Kategorie:Teorie uspořádání]] |
Aktuální verze z 14. 4. 2024, 17:22
Úplný svaz je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima).
Na rozdíl od svazu, kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.
Obsah |
Definice
Množinu \( X \,\! \) uspořádanou relací \( R \,\! \) nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.
\( ( \forall Y \subseteq X) (\exists i,s \in X) ( i = \inf\nolimits_R(Y) \land s = \sup\nolimits_R(Y) ) \,\! \)
Příklady a vlastnosti
Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň svaz. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).
Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.
Úplný svaz potenční algebry
Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.
Pokud je tedy \( X = \mathbb{P}(X_0) \,\!\) potenční množina a \( Y \subseteq X \,\! \) je nějakou množinou podmnožin \( X_0 \,\!\)
- \( inf_{\subseteq}(Y) = \bigcap Y \,\! \)
- \( sup_{\subseteq}(Y) = \bigcup Y \,\! \)
Svazy, které nejsou úplné
Úplný svaz musí mít největší prvek a nejmenší prvek – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny \( X \,\! \)).
Z toho vyplvývá, že například přirozená čísla nebo reálná čísla při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady svazu, který není úplným svazem.
Zúplnění svazu reálných čísel
O reálných číslech \( \mathbb{R} \,\! \) víme, že se jedná o svaz, navíc jejich omezené množiny mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.
Uvažujme o množině, která vznikne z \( \mathbb{R} \,\! \) jejich rozšířením o dva prvky: \( +\infty \,\! \) je větší, než všechny čísla z \( \mathbb{R} \,\! \) a \( -\infty \,\! \) je menší, než všechna čísla z \( \mathbb{R} \,\! \). (Díky tranzitivitě uspořádání platí také, že \( -\infty < +\infty \,\! \) ).
Získali jsme množinu \( \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \,\! \), která již je úplný svaz:
- omezené množiny z \( \mathbb{R} \,\! \) mají supremum a infimum v \( \mathbb{R} \,\! \)
- zdola neomezená množina z \( \mathbb{R} \,\! \) má infimum \( -\infty \,\! \)
- shora neomezená množina z \( \mathbb{R} \,\! \) má supremum \( +\infty \,\! \)
- množina obsahující \( -\infty \,\! \) má infimum \( -\infty \,\! \)
- množina obsahující \( +\infty \,\! \) má supremum \( +\infty \,\! \)
Související články
Externí odkazy
Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|
Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |