Trojúhelníková nerovnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Trojúhelníková nerovnost v matematice tvrdí, že součet délek dvou stran trojúhelníku není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je větou v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, L^p prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Obsah

1 Reálná a komplexní čísla
- 1.1 Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech
2 Normovaný vektorový prostor
- 2.1 L^p prostory
3 Metrický prostor
4 Důsledky

Reálná a komplexní čísla

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel \(x\) a \(y\) ve tvaru

\(|x + y| \leq |x| + |y|\)

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

\(x \leq |x|\) a zároveň

\(-x \leq |x|\).

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla \(x\) a \(y\) a sečteme-li je, dostáváme

\(x + y \leq |x| + |y|\) a

\(- x - y \leq |x| + |y|\).

Z definice absolutní hodnoty \(|x + y|\) víme, že může nabývat jen hodnot \(x + y\) nebo \(- x - y\). Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostor

V normovaném vektorovém prostoru \(V\) s normou \(\| \cdot \|\) má trojúhelníková nerovnost tvar

\(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\)

pro každé dva vektory \(x\) a \(y\) z \(V\).

L^p prostory

V L^p prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že L^p prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostor

V metrickém prostoru \(M\) s metrikou \(d\) má trojúhelníková nerovnost tvar:

\(d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z) \)

to jest, že vzdálenost \(x\) a \(z\) není větší než součet vzdálenosti z \(x\) do \(y\) a vzdálenosti z \(y\) do \(z\).

Důsledky

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

\(\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|\) pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

\(\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq \|x - y\|\) pro normované vektorové prostory a

\(\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq d(y,z)\) pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce \(d(x, \cdot)\) jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 == Reálná a komplexní čísla ==
-V [[Těleso (algebra)|tělese]] reálných a [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] platí trojúhelníková nerovnost pro [[Absolutní hodnota|absolutní hodnoty]] libovolných čísel <big>\(x</math> a <big>\(y</math> ve tvaru
+V [[Těleso (algebra)|tělese]] reálných a [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] platí trojúhelníková nerovnost pro [[Absolutní hodnota|absolutní hodnoty]] libovolných čísel <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big> ve tvaru
-<big>\(|x + y| \leq |x| + |y|</math>
+<big>\(|x + y| \leq |x| + |y|\)</big>
 === Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech ===
@@ Řádka 11: / Řádka 11: @@
 Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí
-<big>\(x \leq |x|</math> a zároveň
+<big>\(x \leq |x|\)</big> a zároveň
-<big>\(-x \leq |x|</math>.
+<big>\(-x \leq |x|\)</big>.
-Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla <big>\(x</math> a <big>\(y</math> a sečteme-li je, dostáváme
+Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big> a sečteme-li je, dostáváme
-<big>\(x + y \leq |x| + |y|</math> a
+<big>\(x + y \leq |x| + |y|\)</big> a
-<big>\(- x - y \leq |x| + |y|</math>.
+<big>\(- x - y \leq |x| + |y|\)</big>.
-Z definice absolutní hodnoty <big>\(|x + y|</math> víme, že může nabývat jen hodnot <big>\(x + y</math> nebo <big>\(- x - y</math>. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.
+Z definice absolutní hodnoty <big>\(|x + y|\)</big> víme, že může nabývat jen hodnot <big>\(x + y\)</big> nebo <big>\(- x - y\)</big>. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.
 == Normovaný vektorový prostor ==
-V [[Normovaný vektorový prostor|normovaném vektorovém prostoru]] <big>\(V</math> s [[Norma|normou]] <big>\(\| \cdot \|</math> má trojúhelníková nerovnost tvar
+V [[Normovaný vektorový prostor|normovaném vektorovém prostoru]] <big>\(V\)</big> s [[Norma|normou]] <big>\(\| \cdot \|\)</big> má trojúhelníková nerovnost tvar
-<big>\(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|</math>
+<big>\(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\)</big>
-pro každé dva [[vektor]]y <big>\(x</math> a <big>\(y</math> z <big>\(V</math>.
+pro každé dva [[vektor]]y <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big> z <big>\(V\)</big>.
 === L<sup>p</sup> prostory ===
@@ Řádka 37: / Řádka 37: @@
 == Metrický prostor ==
-V [[Metrický prostor|metrickém prostoru]] <big>\(M</math> s [[Metrika|metrikou]] <big>\(d</math> má trojúhelníková nerovnost tvar:
+V [[Metrický prostor|metrickém prostoru]] <big>\(M\)</big> s [[Metrika|metrikou]] <big>\(d\)</big> má trojúhelníková nerovnost tvar:
-<big>\(d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z) </math>
+<big>\(d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z) \)</big>
-to jest, že vzdálenost <big>\(x</math> a <big>\(z</math> není větší než součet vzdálenosti z <big>\(x</math> do <big>\(y</math> a vzdálenosti z <big>\(y</math> do <big>\(z</math>.
+to jest, že vzdálenost <big>\(x\)</big> a <big>\(z\)</big> není větší než součet vzdálenosti z <big>\(x\)</big> do <big>\(y\)</big> a vzdálenosti z <big>\(y\)</big> do <big>\(z\)</big>.
 == Důsledky ==
@@ Řádka 47: / Řádka 47: @@
 Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar
-<big>\(\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|</math> pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,
+<big>\(\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|\)</big> pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,
-<big>\(\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq  \|x - y\|</math> pro normované vektorové prostory a
+<big>\(\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq  \|x - y\|\)</big> pro normované vektorové prostory a
-<big>\(\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq  d(y,z)</math> pro metrické prostory.
+<big>\(\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq  d(y,z)\)</big> pro metrické prostory.
-Z těchto tvarů už plyne, že [[absolutní hodnota]], norma i [[Funkce (matematika)|funkce]] <big>\(d(x, \cdot)</math> jsou [[Lipschitzovská funkce|Lipschitzovské]], tedy i [[Spojitá funkce|spojité funkce]].
+Z těchto tvarů už plyne, že [[absolutní hodnota]], norma i [[Funkce (matematika)|funkce]] <big>\(d(x, \cdot)\)</big> jsou [[Lipschitzovská funkce|Lipschitzovské]], tedy i [[Spojitá funkce|spojité funkce]].