Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Koeficient špičatosti
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 1: | Řádka 1: | ||
'''Koeficient špičatosti''' ('''excesu''') je [[charakteristika náhodné veličiny|charakteristika]] rozdělení [[náhodná veličina|náhodné veličiny]], která porovnává dané [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] s [[normální rozdělení|normálním rozdělením pravděpodobnosti]]. | '''Koeficient špičatosti''' ('''excesu''') je [[charakteristika náhodné veličiny|charakteristika]] rozdělení [[náhodná veličina|náhodné veličiny]], která porovnává dané [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] s [[normální rozdělení|normálním rozdělením pravděpodobnosti]]. | ||
| - | Koeficient špičatosti se obvykle označuje <big>\(\gamma_2</ | + | Koeficient špičatosti se obvykle označuje <big>\(\gamma_2\)</big>. |
==Definice== | ==Definice== | ||
Koeficient špičatosti je definován vztahem | Koeficient špičatosti je definován vztahem | ||
| - | :<big>\(\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3</ | + | :<big>\(\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3\)</big>, |
| - | kde <big>\(\mu_4</ | + | kde <big>\(\mu_4\)</big> je čtvrtý [[centrální moment]], <big>\(\sigma\)</big> je [[směrodatná odchylka]], <big>\(\operatorname{E}(X)\)</big> označuje [[střední hodnota|střední hodnotu]] a <big>\(\operatorname{var}\,X\)</big> je [[rozptyl (statistika)|rozptyl]]. |
==Vlastnosti== | ==Vlastnosti== | ||
| Řádka 19: | Řádka 19: | ||
Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem | Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem | ||
| - | :<big>\(g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}</ | + | :<big>\(g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}\)</big>, |
| - | kde <big>\(\overline{x}</ | + | kde <big>\(\overline{x}\)</big> je [[Výběrový průměr|výběrový průměr]], <big>\(m_2\)</big> je [[výběrový rozptyl]] a <big>\(m_4\)</big> je čtvrtý [[Centrální moment#Výběrový centrální moment|výběrový centrální moment]]. |
Tento odhad je [[Vychýlený odhad|vychýlený]]. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:<ref>{{cite web|title=Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population|url=http://www.misug.org/mifolder/LAn_Skewness_Kurtosis.pdf|publisher=Michigan SAS Users Group|accessdate=18 July 2011}}</ref> | Tento odhad je [[Vychýlený odhad|vychýlený]]. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:<ref>{{cite web|title=Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population|url=http://www.misug.org/mifolder/LAn_Skewness_Kurtosis.pdf|publisher=Michigan SAS Users Group|accessdate=18 July 2011}}</ref> | ||
| Řádka 30: | Řádka 30: | ||
b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3 | b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3 | ||
\end{align} | \end{align} | ||
| - | </ | + | \)</big> |
| - | Pro rozptyly těchto odhadů platí <big>\(\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2</ | + | Pro rozptyly těchto odhadů platí <big>\(\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2\)</big>. |
== Reference == | == Reference == | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52
Koeficient špičatosti (excesu) je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která porovnává dané rozdělení s normálním rozdělením pravděpodobnosti.
Koeficient špičatosti se obvykle označuje \(\gamma_2\).
Obsah |
Definice
Koeficient špičatosti je definován vztahem
- \(\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3\),
kde \(\mu_4\) je čtvrtý centrální moment, \(\sigma\) je směrodatná odchylka, \(\operatorname{E}(X)\) označuje střední hodnotu a \(\operatorname{var}\,X\) je rozptyl.
Vlastnosti
Normální rozdělení má špičatost nula. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její střední hodnoty a hlavní vliv na rozptyl mají málo pravděpodobné odlehlé hodnoty. Křivka hustoty je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.
Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.
Výběrový koeficient špičatosti
Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem
- \(g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}\),
kde \(\overline{x}\) je výběrový průměr, \(m_2\) je výběrový rozptyl a \(m_4\) je čtvrtý výběrový centrální moment.
Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:[1]
\( \begin{align} G_2 = \frac{M_4}{M_2^2} &= \frac{(n-1)}{(n-2)(n-3)}\left((n+1)g_2+6\right) \\ b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3 \end{align} \)
Pro rozptyly těchto odhadů platí \(\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2\).
Reference
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |