Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Normála
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu) |
m (1 revizi) |
Verze z 20. 7. 2013, 10:13
Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu. Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů - tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy. Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.
Normála plochy
Je-li rovina dána rovnicí <math>ax+by+cz+d=0</math>, potom je její normálový vektor n roven <math>(a,b,c)</math>. Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi
- <math>x = x(r,s),\,</math>
- <math>y = y(r,s),\,</math>
- <math>z = z(r,s),\,</math>
potom je vektor normály až na znaménko udán jako
- <math>\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left|\begin{matrix}
\frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s}\\ \mathbf{e}_1, & \mathbf{e}_2, & \mathbf{e}_3\end{matrix}\right|,</math> což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:
- <math>\mathbf{n} = \left|\begin{matrix}
\frac{\partial x_1}{\partial p_1}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_1}\\ \dots, & \dots, & \dots \\ \frac{\partial x_1}{\partial p_{n-1}}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_{n-1}}\\ \mathbf{e}_1, & \dots, & \mathbf{e}_n\end{matrix}\right|,</math> kde <math>p_1,\dots,p_{n-1}</math> jsou parametry plochy. Je-li plocha dána jako množina bodů <math>(x,y,z)</math> splňujících rovnici :<math>F(x,y,z)=0</math>, potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:
- <math>\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z)</math>.
Normála křivky
Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)</math>, kde <math>s</math> je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor <math>\mathbf{t}</math> v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě. Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem <math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>. Jednotkový vektor <math>\mathbf{n}</math>, který má stejný směr jako vektor <math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>, se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí <math>\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0</math>. Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako
- <math>\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}</math>,
kde <math>k_1</math> je tzv. první křivost. Vektory <math>\mathbf{t}</math> a <math>\mathbf{n}</math> jsou vzájemně kolmé, tzn. <math>\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0</math>. Pokud parametrem křivky není její oblouk <math>s</math>, ale obecný parametr <math>t</math>, tzn. křivka je dána rovnicí <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math>, pak je jednotkový normálový vektor <math>\mathbf{n}</math> dán vztahem
- <math>\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}</math>,
kde <math>c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}</math> pokud platí <math>\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0</math> a <math>\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0</math>.
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |