Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Kofinál
Z Multimediaexpo.cz
Verze z 3. 3. 2019, 14:53
Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.
Obsah |
Definice
Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy <math>\alpha,\, \beta</math> budou označovat libovolná ordinální čísla a <math> \gamma,\, \delta</math> budou označovat vždy limitní ordinály.
Kofinální podmnožina
Řekneme, že množina <math>A \subseteq \gamma</math> je kofinální podmnožinou <math>\gamma</math>, existuje-li pro každé <math>\alpha \in \gamma </math> takové <math>\beta \in A</math>, že <math>\alpha\, \leq\, \beta</math>. Říkáme také, že A je kofinální s <math>\gamma</math>.
Například
- množina <math>A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <math>\omega \,+\, \omega</math>.
- množina <math>A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <math>\delta \cdot \delta</math>.
- množina <math>A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <math>\aleph_{\gamma}</math> pro každé <math>\gamma\,>\,\omega</math>.
Kofinál a kofinalita
Kofinálem limitního ordinálu <math>\gamma</math> rozumíme nejmenší ordinál <math>\alpha</math> takový, že existuje množina <math>A \subseteq \gamma</math> kofinální s <math>\gamma</math>, jejímž ordinálním typem je <math>\alpha</math> (tj. A je <math>\in</math>-izomorfní s <math>\alpha</math>). Kofinál limitního ordinálu <math>\gamma</math> se značí <math>\, cf(\gamma)</math>.
Kofinalitou <math>\gamma</math> rozumíme mohutnost (kardinalitu) <math>\, cf(\gamma)</math>. Lze ukázat, že pro každé <math>\gamma</math> je <math>\, cf(\gamma)</math> kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.
Například
- <math>cf(\omega + \omega) \, = \, \omega</math>
- <math>cf(\delta \cdot \delta) = \delta</math>
- <math>cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)</math> pro každé <math>\gamma\,>\,\omega</math>
Regulární a singulární ordinál
Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.
Vlastnosti
- Pro každý limitní ordinál <math>\gamma</math> platí <math>\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma</math>
- Pro každý limitní ordinál <math>\gamma</math> platí <math>cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)</math>.
- Pro všechna <math>\gamma</math> je <math>\, cf(\gamma)</math> kardinální číslo.
Dále za předpokladu axiomu výběru:
- Pro každý nekonečný kardinál <math>\kappa</math> platí <math>\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}</math>.
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |