The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 27, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Boltzmannova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Aktualizace)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Boltzmannova rovnice|700}}
+
'''Boltzmannova rovnice''', známá také jako '''Boltzmannova transportní rovnice''', zavedená [[Ludwig Boltzmann|Ludwigem Boltzmannem]], popisuje [[statistické rozdělení]] jedné částice v [[tekutina|tekutině]]. Je to důležitá rovnice [[nerovnovážná statistická mechanika|nerovnovážné statistické mechaniky]], oblasti statistické mechaniky, která se zabývá systémy, které jsou daleko od [[termodymická rovnováha|termodynamické rovnováhy]]; např. v přítomnosti [[teplota|teplotního]] [[Teplotní gradient|gradientu]] nebo [[elektrické pole|elektrického pole]]. Boltzmannova rovnice se používá ke studiu schopnosti tekutiny transportovat [[fyzika|fyzikální veličiny]] jako [[teplo]] a [[náboj]], a tedy k odvození transportních vlastností, například [[elektrická vodivost|elektrické vodivosti]], [[Hallův jev|Hallovy vodivosti]], [[viskozita|viskozity]] a [[tepelná vodivost|tepelné vodivosti]].
-
 
+
 
 +
== Přehled ==
 +
Boltzmannova rovnice je [[rovnice]] pro [[čas]]ový (t) vývoj [[rozdělovací funkce]] f('''x''', '''p''', ''t'') v jednočásticovém [[fázový prostor|fázovém prostoru]], kde '''x''' je poloha a '''p''' je [[hybnost]]. Rozdělení je definováno tak, že
 +
 
 +
:<big>\(f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p}\)</big>
 +
 
 +
je počet částic, které se v čase ''t'' nacházejí v prostorovém elementu <big>\(d^3 x \)</big> v okolí '''x''' a jejich hybnost je v [[interval]]u <big>\(d^3p\)</big> v okolí '''p'''.<ref>{{Citace monografie | příjmení=Huang | jméno=Kerson | rok=1987 | titul=Statistical Mechanics | url=https://archive.org/details/statisticalmecha00huan_858 | místo=New York | vydavatel=Wiley | isbn=0471815187 | strany=[https://archive.org/details/statisticalmecha00huan_858/page/n65 53] | vydání=Second }}</ref>
 +
 
 +
Působí-li na částice popsané ''f'' vnější [[síla]] '''F''', musí ''f'', za předpokladu neexistence srážek, splňovat
 +
 
 +
:<big>\(f(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}\,dt,\mathbf{p}+\mathbf{F}\,dt,t+dt)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} = f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p},\)</big>
 +
 
 +
což znamená, že mají-li nějaké částice v čase ''t'' souřadnici '''x''' a hybnost '''p''', v čase <big>\(t + \mathrm{d}t\)</big> budou (všechny) v <big>\(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}\mathrm{d}t\)</big>, s hybností <big>\(\mathbf{p} + \mathbf{F}\mathrm{d}t\)</big>.
 +
 
 +
Protože však ke srážkám dochází, tak se hustota částic v elementu fázového prostoru ''d'''''x''' ''d'''''p''' mění.
 +
 
 +
:<big>\(f(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}dt,\mathbf{p} + \mathbf{F}dt,t+dt) \,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} - f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} = \left. \frac{\partial f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} \, d\mathbf{x} \, d\mathbf{p} \, dt \)</big>
 +
 
 +
Vydělením rovnice ''d'''''x'''&nbsp;''d'''''p'''&nbsp;''dt'' vznikne v limitě Boltzmannova rovnice
 +
 
 +
:<big>\(\frac{\partial f}{\partial t}+ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \cdot \frac{\mathbf{p}}{m} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{F} = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}.\)</big>
 +
 
 +
'''F'''('''x''', ''t'') je síla působící mezi částicemi v tekutině a ''m'' je [[hmotnost]] částic. Člen na pravé straně rovnice popisuje efekt srážek mezi částicemi; je-li roven nule, částice se nesrážejí. Bezsrážková Boltzmannova rovnice je často chybně nazývána [[Liouvillova rovnice]] (Liouvillova rovnice je N-částicová rovnice).
 +
 
 +
== Molekulární chaos a srážkový člen (Stosszahl Ansatz) ==
 +
Výše uvedená Boltzmannova rovnice nemá velký praktický význam, neboť nechává srážkový člen nespecifikovaný. Klíčová myšlenka použitá Boltzmannem byla určit srážkový člen výhradně ze srážek dvou částic, o kterých se předpokládá, že před srážkou jsou nekorelované. Tento předpoklad byl Boltzmannem nazýván 'Stosszahl Ansatz', a je také znám jako [[předpoklad molekulárního chaosu]]. Za tohoto předpokladu lze srážkový člen psát jako [[integrál]] v hybnostním prostoru přes součin jednočásticových rozdělovacích funkcí:
 +
 
 +
:<big>\( \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = \int\!\!\! \int g(\mathbf{p-p'},\mathbf{q}) \left[f(\mathbf{x},\mathbf{p+q},t) f(\mathbf{x},\mathbf{p'-q},t) - f(\mathbf{x},\mathbf{p},t) f(\mathbf{x},\mathbf{p'},t)\right]\,d\mathbf{p'}\,d\mathbf{q}.\)</big>
 +
 
 +
== Reference ==
 +
<references />
 +
 
 +
 
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Statistická mechanika]]
[[Kategorie:Statistická mechanika]]

Aktuální verze z 21. 8. 2022, 15:34

Boltzmannova rovnice, známá také jako Boltzmannova transportní rovnice, zavedená Ludwigem Boltzmannem, popisuje statistické rozdělení jedné částice v tekutině. Je to důležitá rovnice nerovnovážné statistické mechaniky, oblasti statistické mechaniky, která se zabývá systémy, které jsou daleko od termodynamické rovnováhy; např. v přítomnosti teplotního gradientu nebo elektrického pole. Boltzmannova rovnice se používá ke studiu schopnosti tekutiny transportovat fyzikální veličiny jako teplo a náboj, a tedy k odvození transportních vlastností, například elektrické vodivosti, Hallovy vodivosti, viskozity a tepelné vodivosti.

Přehled

Boltzmannova rovnice je rovnice pro časový (t) vývoj rozdělovací funkce f(x, p, t) v jednočásticovém fázovém prostoru, kde x je poloha a p je hybnost. Rozdělení je definováno tak, že

\(f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p}\)

je počet částic, které se v čase t nacházejí v prostorovém elementu \(d^3 x \) v okolí x a jejich hybnost je v intervalu \(d^3p\) v okolí p.[1]

Působí-li na částice popsané f vnější síla F, musí f, za předpokladu neexistence srážek, splňovat

\(f(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}\,dt,\mathbf{p}+\mathbf{F}\,dt,t+dt)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} = f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p},\)

což znamená, že mají-li nějaké částice v čase t souřadnici x a hybnost p, v čase \(t + \mathrm{d}t\) budou (všechny) v \(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}\mathrm{d}t\), s hybností \(\mathbf{p} + \mathbf{F}\mathrm{d}t\).

Protože však ke srážkám dochází, tak se hustota částic v elementu fázového prostoru dx dp mění.

\(f(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{p}}{m}dt,\mathbf{p} + \mathbf{F}dt,t+dt) \,d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} - f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)d\mathbf{x}\,d\mathbf{p} = \left. \frac{\partial f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} \, d\mathbf{x} \, d\mathbf{p} \, dt \)

Vydělením rovnice dx dp dt vznikne v limitě Boltzmannova rovnice

\(\frac{\partial f}{\partial t}+ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \cdot \frac{\mathbf{p}}{m} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{F} = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}.\)

F(x, t) je síla působící mezi částicemi v tekutině a m je hmotnost částic. Člen na pravé straně rovnice popisuje efekt srážek mezi částicemi; je-li roven nule, částice se nesrážejí. Bezsrážková Boltzmannova rovnice je často chybně nazývána Liouvillova rovnice (Liouvillova rovnice je N-částicová rovnice).

Molekulární chaos a srážkový člen (Stosszahl Ansatz)

Výše uvedená Boltzmannova rovnice nemá velký praktický význam, neboť nechává srážkový člen nespecifikovaný. Klíčová myšlenka použitá Boltzmannem byla určit srážkový člen výhradně ze srážek dvou částic, o kterých se předpokládá, že před srážkou jsou nekorelované. Tento předpoklad byl Boltzmannem nazýván 'Stosszahl Ansatz', a je také znám jako předpoklad molekulárního chaosu. Za tohoto předpokladu lze srážkový člen psát jako integrál v hybnostním prostoru přes součin jednočásticových rozdělovacích funkcí:

\( \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = \int\!\!\! \int g(\mathbf{p-p'},\mathbf{q}) \left[f(\mathbf{x},\mathbf{p+q},t) f(\mathbf{x},\mathbf{p'-q},t) - f(\mathbf{x},\mathbf{p},t) f(\mathbf{x},\mathbf{p'},t)\right]\,d\mathbf{p'}\,d\mathbf{q}.\)

Reference

  1. ↑ HUANG, Kerson. Statistical Mechanics. Second. vyd. New York : Wiley, 1987. Dostupné online. ISBN 0471815187. S. 53.  


Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Boltzmannova_rovnice“