Kofinál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.

Definice

Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy \(\alpha,\, \beta\) budou označovat libovolná ordinální čísla a \( \gamma,\, \delta\) budou označovat vždy limitní ordinály.

Kofinální podmnožina

Řekneme, že množina \(A \subseteq \gamma\) je kofinální podmnožinou \(\gamma\), existuje-li pro každé \(\alpha \in \gamma \) takové \(\beta \in A\), že \(\alpha\, \leq\, \beta\). Říkáme také, že A je kofinální s \(\gamma\).

Například

množina \(A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}\) je kofinální podmnožina ordinálu \(\omega \,+\, \omega\).
množina \(A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}\) je kofinální podmnožina ordinálu \(\delta \cdot \delta\).
množina \(A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}\) je kofinální podmnožina ordinálu \(\aleph_{\gamma}\) pro každé \(\gamma\,>\,\omega\).

Kofinál a kofinalita

Kofinálem limitního ordinálu \(\gamma\) rozumíme nejmenší ordinál \(\alpha\) takový, že existuje množina \(A \subseteq \gamma\) kofinální s \(\gamma\), jejímž ordinálním typem je \(\alpha\) (tj. A je \(\in\)-izomorfní s \(\alpha\)). Kofinál limitního ordinálu \(\gamma\) se značí \(\, cf(\gamma)\).

Kofinalitou \(\gamma\) rozumíme mohutnost (kardinalitu) \(\, cf(\gamma)\). Lze ukázat, že pro každé \(\gamma\) je \(\, cf(\gamma)\) kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

Například

\(cf(\omega + \omega) \, = \, \omega\)
\(cf(\delta \cdot \delta) = \delta\)
\(cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)\) pro každé \(\gamma\,>\,\omega\)

Regulární a singulární ordinál

Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.

Vlastnosti

Pro každý limitní ordinál \(\gamma\) platí \(\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma\)
Pro každý limitní ordinál \(\gamma\) platí \(cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)\).
Pro všechna \(\gamma\) je \(\, cf(\gamma)\) kardinální číslo.

Dále za předpokladu axiomu výběru:

Pro každý nekonečný kardinál \(\kappa\) platí \(\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}\).

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 2: / Řádka 2: @@
 == Definice ==
-Pojem '''kofinality''' má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy <big>\(\alpha,\, \beta</math> budou označovat libovolná ordinální čísla a <big>\( \gamma,\, \delta</math> budou označovat vždy [[limitní ordinál]]y.
+Pojem '''kofinality''' má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy <big>\(\alpha,\, \beta\)</big> budou označovat libovolná ordinální čísla a <big>\( \gamma,\, \delta\)</big> budou označovat vždy [[limitní ordinál]]y.
 === Kofinální podmnožina ===
-Řekneme, že [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma</math> je '''kofinální podmnožinou''' <big>\(\gamma</math>, existuje-li pro každé <big>\(\alpha \in \gamma </math> takové <big>\(\beta \in A</math>, že <big>\(\alpha\, \leq\, \beta</math>. Říkáme také, že ''A'' je kofinální s <big>\(\gamma</math>.
+Řekneme, že [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma\)</big> je '''kofinální podmnožinou''' <big>\(\gamma\)</big>, existuje-li pro každé <big>\(\alpha \in \gamma \)</big> takové <big>\(\beta \in A\)</big>, že <big>\(\alpha\, \leq\, \beta\)</big>. Říkáme také, že ''A'' je kofinální s <big>\(\gamma\)</big>.
 Například
-* množina <big>\(A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\omega \,+\, \omega</math>.
+* množina <big>\(A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}\)</big> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\omega \,+\, \omega\)</big>.
-* množina <big>\(A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\delta \cdot \delta</math>.
+* množina <big>\(A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}\)</big> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\delta \cdot \delta\)</big>.
-* množina <big>\(A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\aleph_{\gamma}</math> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega</math>.
+* množina <big>\(A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}\)</big> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\aleph_{\gamma}\)</big> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega\)</big>.
 === Kofinál a kofinalita ===
-'''Kofinálem''' [[limitní ordinál|limitního ordinálu]] <big>\(\gamma</math> rozumíme nejmenší [[ordinál]] <big>\(\alpha</math> takový, že existuje [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma</math> kofinální s <big>\(\gamma</math>, jejímž ordinálním typem je <big>\(\alpha</math> (tj. A je <big>\(\in</math>-[[izomorfismus|izomorfní]] s <big>\(\alpha</math>). Kofinál limitního ordinálu <big>\(\gamma</math> se značí <big>\(\, cf(\gamma)</math>.
+'''Kofinálem''' [[limitní ordinál|limitního ordinálu]] <big>\(\gamma\)</big> rozumíme nejmenší [[ordinál]] <big>\(\alpha\)</big> takový, že existuje [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma\)</big> kofinální s <big>\(\gamma\)</big>, jejímž ordinálním typem je <big>\(\alpha\)</big> (tj. A je <big>\(\in\)</big>-[[izomorfismus|izomorfní]] s <big>\(\alpha\)</big>). Kofinál limitního ordinálu <big>\(\gamma\)</big> se značí <big>\(\, cf(\gamma)\)</big>.
-'''Kofinalitou''' <big>\(\gamma</math> rozumíme [[mohutnost]] (kardinalitu) <big>\(\, cf(\gamma)</math>. Lze ukázat, že pro každé <big>\(\gamma</math> je <big>\(\, cf(\gamma)</math> [[kardinální číslo]], a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.
+'''Kofinalitou''' <big>\(\gamma\)</big> rozumíme [[mohutnost]] (kardinalitu) <big>\(\, cf(\gamma)\)</big>. Lze ukázat, že pro každé <big>\(\gamma\)</big> je <big>\(\, cf(\gamma)\)</big> [[kardinální číslo]], a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.
 Například
-* <big>\(cf(\omega + \omega) \, = \, \omega</math>
+* <big>\(cf(\omega + \omega) \, = \, \omega\)</big>
-* <big>\(cf(\delta \cdot \delta) = \delta</math>
+* <big>\(cf(\delta \cdot \delta) = \delta\)</big>
-* <big>\(cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)</math> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega</math>
+* <big>\(cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)\)</big> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega\)</big>
 === Regulární a singulární ordinál ===
@@ Řádka 26: / Řádka 26: @@
 == Vlastnosti ==
-* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma</math> platí <big>\(\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma</math>
+* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma\)</big> platí <big>\(\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma\)</big>
-* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma</math> platí <big>\(cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)</math>.
+* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma\)</big> platí <big>\(cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)\)</big>.
-* Pro všechna <big>\(\gamma</math> je <big>\(\, cf(\gamma)</math> kardinální číslo.
+* Pro všechna <big>\(\gamma\)</big> je <big>\(\, cf(\gamma)\)</big> kardinální číslo.
 Dále za předpokladu [[axiom výběru|axiomu výběru]]:
-* Pro každý nekonečný [[kardinální číslo|kardinál]] <big>\(\kappa</math> platí <big>\(\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}</math>.
+* Pro každý nekonečný [[kardinální číslo|kardinál]] <big>\(\kappa\)</big> platí <big>\(\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}\)</big>.
 == Související články ==