Ideál (teorie okruhů)

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi.

• Tak jako normální podgrupy jsou speciálními případy podgrup, jsou rovněž ideály jisté podokruhy daného okruhu.

Definice

Množina \(\emptyset \neq I \subseteq R\), kde R je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti:

• pro každé \(a,b \in I\) je také \(a-b \in I\)
• pro každé \(a \in I\) a každé \(r \in R\) je také \(r\cdot a \in I\) resp. \(a\cdot r \in I\)

Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

Nechť (R, +, •) je okruh, M je libovolná podmnožina množiny R. Potom průnik všech ideálů v R, které obsahují množinu M, je ideál v R, který se nazývá ideálem generovaným množinou a značí se [M]. Množina M se nazývá systém generátorů ideálu [M] a její prvky generátory tohoto ideálu.

Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál R.

Příklady ideálů

• V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
• Každá podmnožina tvaru \((a)=\{a\cdot r;r\in R\}\) je ideál v R. Ideály tvaru (a) se nazývají hlavní ideály v R.
• V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
• Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (Q,+,•) tvoří celá čísla podokruh (Z,+,•). Ten však není ideálem v Q, neboť nesplňuje podmínku: pro každé \(a \in I\) a každé \(r \in R\) je také \(r\cdot a \in I\) resp. \(a\cdot r \in I\). Stačí volit třeba \( a = 3, r = { \frac{1}{2}} \), pak \(3 \in Z\) a \( 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z \)

Operace s ideály

• průnik ideálů I,J je ideál \(I\cap J\), který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech I,J.
• součet ideálů I,J je ideál \(\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}\), který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály I,J.
• součin ideálů I,J je ideál \(I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}\)

Vlastnosti

• Ideál I v okruhu R se nazývá maximální ideál, je-li \(I \neq R\) a pro každý ideál J, že \(I\subseteq J\), je I = J nebo J = R.
• Ideál I v okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže pro každé \(a,b \in R\) takové, že \(a\cdot b \in I\), je buďto \(a \in I\) nebo \(b \in I\).
• Jsou-li \(a_1, a_2, \) … , \(a_k\) libovolné prvky z ideálu I v okruhu R, je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z R prvkem ideálu I, tj. \((\forall r_1, r_2, \)… , \( r_k \in R)\) \(a_1r_1 + a_2r_2 + \)… \( + a_kr_k \in I\).

Příklad:

V okruhu celých čísel Z máme určit ideál I = [96, 14]. Snažíme se v tomto ideálu najít nenulové číslo s co nejmenší absolutní hodnotou. Musí být 1 • 96 + (- 6) •14 = 12 ∈ I a též 1 • 14 + (- 1) •12 = 2 ∈ I . Podle druhé podmínky (viz výše) obsahuje I všechny celočíselné násobky čísla 2, tj. všechna sudá čísla. Protože podle definice ideálu (Podmnožina I okruhu R je ideálem v právě tehdy, když je neprázdná a platí pro ni podmínky viz. výše) množina všech sudých čísel tvoří zřejmě ideál v Z, je I = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

Týž ideál může mít různé systémy generátorů. Např. ideál I z předchozího příkladu je generován číslem 2, tj. I = [2], a též například I = [6, 8, -10].

Platí věta: Každý maximální ideál je prvoideál. Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však R je číselný okruh (tj. podokruh okruhu komplexních algebraických celých čísel), je každý prvoideál v R maximálním ideálem.

• Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět okruh.
• Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu obor integrity.
• Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne těleso.

Věta

Nechť R je okruh s jednotkovým prvkem a nechť \( M = \{a_1, a_2, \)… \( , a_k \sube R\}\). Pak ideál [M] se skládá právě ze všech prvků tvaru \((\forall r_1, r_2, \)… , \( r_k \in R)\) \(a_1r_1 + a_2r_2 + \)… \( + a_kr_k \in I\), tj. [M] = I, kde \(I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + \)… \( + a_kr_k; r_1, r_2, \)… \( , r_k\in R\}\).

Příklad užití této věty

V okruhu Z[x] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [x, 2]. Podle věty výše (v Z[x] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: \(x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) \) kde \(f_1(x),f_2(x) \in Z[x]\).

Tedy [x, 2] je množina všech polynomů \(a_0 + a_1x + \)… \( + a_x x^n \in Z[x]\), jejíž člen a₀ je sudé číslo. Ideál [x, 2] je tudíž vlastní podmnožina v Z[x].

Literatura

BLAŽEK, Jaroslav, Milan KOMAN a Blanka VOJTÁŠKOVÁ. Algebra a teoretická aritmetika. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 258 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství).

Související články

• Ideál (teorie uspořádání)
• Normální podgrupa