Riemannova hypotéza

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Grafické znázornění absolutní hodnoty Riemannovy zeta-funkce (čím tmavší barva, tím blíže k nule)

Riemannova hypotéza (také Riemannova zeta-hypotéza) je jeden z nejslavnějších a nejdůležitějších nevyřešených problémů současné matematiky. Poprvé byla formulována německým matematikem Bernhardem Riemannem v roce 1859. Dokázáním Riemannovy hypotézy by bylo vyřešeno velké množství hlubokých problémů z různých oblastí matematiky (zejména teorie čísel), nejen proto byla v roce 2000 zařazena mezi 7 nejdůležitějších nevyřešených matematických problémů nového tisíciletí (problémy tisíciletí).

Dne 24. září 2018 prohlásil sir Michael Atiyah, že ji vyřešil.^[1]

Za vyřešení je vypsaná odměna 1 000 000 dolarů.

Matematická podstata

Riemannova hypotéza je domněnka o rozložení kořenů Riemannovy funkce zeta definované v celé komplexní rovině kromě bodu 1. Tato funkce má některé ze svých kořenů, triviální nulové body, v sudých záporných celých číslech. Kromě těchto kořenů existují ještě další, které se nazývají netriviální nulové body. Riemannova hypotéza je tvrzení:

Všechny netriviální nulové body Riemannovy zeta-funkce mají reálnou část rovnu 1/2.

Čísla, jejichž reálná část je rovna 1/2, tvoří v komplexní rovině přímku, která se nazývá kritická přímka.

Nejsilnějšími známými částečnými řešeními Riemannovy hypotézy jsou různé verze věty o kritické přímce, které říkají, že na kritické přímce se vyskytuje „hodně“ netriviálních nulových bodů.

Netriviální nulové body

V roce 1900 byla s matematickou jistotou známa následující fakta o umístění netriviálních nulových bodů v komplexní rovině:

• Je jich nekonečně mnoho a všechny mají reálnou část mezi 0 a 1, přičemž krajní body vylučujeme.

Použijeme-li komplexní rovinu ke znázornění této situace, můžeme říci, že víme, že všechny netriviální nulové body leží v kritickém pásu. Riemannova hypotéza je však daleko silnější tvrzení - totiž že všechny leží na kritické přímce.

• Nulové body se objevují v komplexně sdružených dvojicích.

Jinými slovy, je-li \(z\) nulový bod, je i \(\overline{z}\) nulový bod.

• Jejich reálné části jsou symetrické podle kritické přímky.

Tedy jestliže existuje nějaký nulový bod mimo kritickou přímku, pak jeho zrcadlový obraz podle kritické přímky je také nulovým bodem.

Literatura

• John Derbyshire, Posedlost prvočísly, (2007) Academia, - Počet stran: 407.
• Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, (1859) Monatsberichte der Berliner Akademie.
• Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin Société Mathématique de France 14 (1896) pp 199-220.

Související články

• Riemannova funkce zeta
• Věta o kritické přímce
• Bernhard Riemann

Reference

1. ↑ https://vtm.zive.cz/clanky/mam-dukaz-riemannovy-hypotezy-tvrdi-britsky-matematik-za-vyreseni-je-odmena-milion-dolaru/sc-870-a-195199/default.aspx

Externí odkazy

• Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse – původní Riemannův článek, v němž formuluje Riemannovu hypotézu (anglicky, německy)