V pondělí 16. září 2024 začala naše další
nová soutěž o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte rychle soutěžit o lákavé ceny !!

Faktoriál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Faktoriál|700}}
+
V [[matematika|matematice]] je '''faktoriál''' čísla ''n'' (značeno pomocí [[vykřičník]]u: '''''n''!''') číslo, rovné součinu všech [[kladné číslo|kladných]] [[celé číslo|celých čísel]] menších nebo rovných ''n'', pokud je ''n'' kladné a 1 pokud ''n = 0''. Značení ''n''! vyslovujeme jako „''n'' faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808.
-
{{FlickrTag|factorial}}
+
{|class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em" cellspacing="0"
 +
! <math>n</math>
 +
! <math>n!</math>
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 2 || 2
 +
|-
 +
| 3 || 6
 +
|-
 +
| 4 || 24
 +
|-
 +
| 5 || 120
 +
|-
 +
| 6 || 720
 +
|-
 +
| 7 || 5&nbsp;040
 +
|-
 +
| 8 || 40&nbsp;320
 +
|-
 +
| 9 || 362&nbsp;880
 +
|-
 +
| 10 || 3&nbsp;628&nbsp;800
 +
|-
 +
| 15 || 1&nbsp;307&nbsp;674&nbsp;368&nbsp;000
 +
|-
 +
| 20 || 2&nbsp;432&nbsp;902&nbsp;008&nbsp;176&nbsp;640&nbsp;000
 +
|-
 +
| 25 || 15&nbsp;511&nbsp;210&nbsp;043&nbsp;330&nbsp;985&nbsp;984&nbsp;000&nbsp;000
 +
|-
 +
| 50 || 3,041&nbsp;409&nbsp;32… × 10<sup>64</sup>
 +
|-
 +
| 70 || 1,197&nbsp;857&nbsp;17… × [[googol|10<sup>100</sup>]]
 +
|-
 +
| 100 || 9.3326215444{{e|157}}
 +
|-
 +
| 171 || 1.2410180702{{e|309}}
 +
|-
 +
| 450 || 1,733&nbsp;368&nbsp;73… × 10<sup>1&nbsp;000</sup>
 +
|-
 +
| 1,000 || 4.0238726008 × 10<sup>2,567</sup>
 +
|-
 +
| 3&nbsp;249 || 6,412&nbsp;337&nbsp;68… × 10<sup>10&nbsp;000</sup>
 +
|-
 +
| 25&nbsp;206 || 1,205&nbsp;703&nbsp;438… × 10<sup>100&nbsp;000</sup>
 +
|-
 +
| 47&nbsp;176 || 8,448&nbsp;573&nbsp;149&nbsp;5… × 10<sup>200&nbsp;001</sup>
 +
|-
 +
| 100&nbsp;000 || 2,824&nbsp;229&nbsp;407&nbsp;9… × 10<sup>456&nbsp;573</sup>
 +
|-
 +
| 200&nbsp;000 || 1,420&nbsp;225&nbsp;345&nbsp;47… × 10<sup>973&nbsp;350</sup>
 +
|-
 +
| 205,023 || 2.5038989317 × 10<sup>1,000,004</sup>
 +
|-
 +
| 300&nbsp;000 || 1,477&nbsp;391&nbsp;531&nbsp;738… × 10<sup>1&nbsp;512&nbsp;851</sup>
 +
|-
 +
| 1&nbsp;000&nbsp;000 || 8,263&nbsp;931&nbsp;688&nbsp;3… × 10<sup>5&nbsp;565&nbsp;708</sup>
 +
|-
 +
| 1.0248383838{{e|98}} || [[googolplex|10<sup>1.0000000000{{e|100}}</sup>]]
 +
|-
 +
| [[googol|1{{e|100}}]] || 10<sup>9.9565705518{{e|101}}</sup>
 +
|-
 +
| 1.7976931349{{e|308}} || 10<sup>5.5336665775{{e|310}}</sup>
 +
|}
 +
 
 +
== Definice ==
 +
Faktoriál je formálně definován takto:
 +
:<math>n! = 1 \cdot 2 \dotsb n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n \ge 0</math>
 +
 
 +
Například:
 +
:<math>5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</math>
 +
 
 +
Jako speciální případ prázdného součinu platí, že
 +
:<math>0! = 1</math>
 +
 
 +
Zobecněním faktoriálu pro obor [[komplexní číslo|komplexních čísel]] je [[gama funkce]], používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve [[statistika|statistice]]:
 +
:<math>z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt</math>
 +
 
 +
Ačkoliv uvedený [[integrál]] konverguje pouze pro <math>\operatorname{Re}\, z > -1</math>, lze zobecněný faktoriál [[holomorfní rozšíření|holomorfně rozšířit]] na celou [[komplexní rovina|komplexní rovinu]] kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).
 +
 
 +
Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná
 +
:1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …
 +
 
 +
== Využití ==
 +
Faktoriály se hojně vyskytují v [[kombinatorika|kombinatorice]]. Faktoriál čísla ''n'' udává počet [[permutace|permutací]] množiny ''n'' prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit ''n'' různých objektů.
 +
 
 +
Pomocí faktoriálů lze také spočítat [[kombinační číslo]]:
 +
:<math>{n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>
 +
 
 +
== Vlastnosti ==
 +
Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká ''n'' lze vypočítat [[Stirlingův vzorec|Stirlingovým vzorcem]]:
 +
 
 +
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
 +
 
 +
== Dvojitý faktoriál, multifaktoriál ==
 +
Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také '''dvojitý faktoriál''', značený ''n''!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako
 +
:<math>n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pro }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.</math>
 +
 
 +
Například <math>8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384</math>,nebo <math>9!! = 9 \cdots 7 \cdots 5 \cdots 3 \cdots 1 = 945</math>.
 +
 
 +
Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná
 +
:1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …
 +
 
 +
I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např.
 +
:<math>\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}</math>
 +
 
 +
Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) '''multifaktoriály''' ''n''!!!, ''n''!!!! atd. (obecně ''n''!<sup>(''k'')</sup>).
 +
 
 +
== Související články ==
 +
* [[Taylorova řada]]
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html Faktoriál v encyklopedii MathWorld]
 +
* [http://www.elektro-energetika.cz/new/calculations/faktorial.php Online výpočet faktoriálu] až 40000! na všechna platná místa 
 +
 
 +
 
 +
{{FlickrTag|Factorial}}{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Matematické funkce]]
[[Kategorie:Matematické funkce]]
[[Kategorie:Kombinatorika]]
[[Kategorie:Kombinatorika]]
[[Kategorie:Teorie čísel]]
[[Kategorie:Teorie čísel]]

Verze z 7. 8. 2014, 16:33

V matematice je faktoriál čísla n (značeno pomocí vykřičníku: n!) číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n, pokud je n kladné a 1 pokud n = 0. Značení n! vyslovujeme jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808.

<math>n</math> <math>n!</math>
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
15 1 307 674 368 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000
50 3,041 409 32… × 1064
70 1,197 857 17… × 10100
100 9.3326215444×10157
171 1.2410180702×10309
450 1,733 368 73… × 101 000
1,000 4.0238726008 × 102,567
3 249 6,412 337 68… × 1010 000
25 206 1,205 703 438… × 10100 000
47 176 8,448 573 149 5… × 10200 001
100 000 2,824 229 407 9… × 10456 573
200 000 1,420 225 345 47… × 10973 350
205,023 2.5038989317 × 101,000,004
300 000 1,477 391 531 738… × 101 512 851
1 000 000 8,263 931 688 3… × 105 565 708
1.0248383838×1098 101.0000000000×10100
1×10100 109.9565705518×10101
1.7976931349×10308 105.5336665775×10310

Obsah

Definice

Faktoriál je formálně definován takto:

<math>n! = 1 \cdot 2 \dotsb n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n \ge 0</math>

Například:

<math>5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</math>

Jako speciální případ prázdného součinu platí, že

<math>0! = 1</math>

Zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel je gama funkce, používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve statistice:

<math>z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt</math>

Ačkoliv uvedený integrál konverguje pouze pro <math>\operatorname{Re}\, z > -1</math>, lze zobecněný faktoriál holomorfně rozšířit na celou komplexní rovinu kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).

Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …

Využití

Faktoriály se hojně vyskytují v kombinatorice. Faktoriál čísla n udává počet permutací množiny n prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit n různých objektů.

Pomocí faktoriálů lze také spočítat kombinační číslo:

<math>{n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

Vlastnosti

Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká n lze vypočítat Stirlingovým vzorcem:

<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také dvojitý faktoriál, značený n!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako

<math>n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pro }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.</math>

Například <math>8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384</math>,nebo <math>9!! = 9 \cdots 7 \cdots 5 \cdots 3 \cdots 1 = 945</math>.

Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …

I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např.

<math>\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}</math>

Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atd. (obecně n!(k)).

Související články

Externí odkazy


Flickr.com nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Faktoriál
Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Faktori%C3%A1l“