Normála

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 19. 8. 2022, 08:43

Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu. Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů - tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy. Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.

Normála plochy

Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě.

Je-li rovina dána rovnicí \(ax+by+cz+d=0\), potom je její normálový vektor n roven \((a,b,c)\). Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi

\(x = x(r,s),\,\)

\(y = y(r,s),\,\)

\(z = z(r,s),\,\)

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

\(\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s}\\\mathbf{e}_1, & \mathbf{e}_2, & \mathbf{e}_3\end{matrix}\right|,\)

což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:

\(\mathbf{n} = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x_1}{\partial p_1}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_1}\\ \dots, & \dots, & \dots \\ \frac{\partial x_1}{\partial p_{n-1}}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_{n-1}}\\\mathbf{e}_1, & \dots, & mathbf{e}_n\end{matrix}\right|,\)

kde \(p_1,\dots,p_{n-1}\) jsou parametry plochy. Je-li plocha dána jako množina bodů \((x,y,z)\) splňujících rovnici :\(F(x,y,z)=0\), potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:

\(\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z)\).

Normála křivky

Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)\), kde \(s\) je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor \(\mathbf{t}\) v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě. Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem \(\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}\). Jednotkový vektor \(\mathbf{n}\), který má stejný směr jako vektor \(\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}\), se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí \(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0\). Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako

\(\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}\),

kde \(k_1\) je tzv. první křivost. Vektory \(\mathbf{t}\) a \(\mathbf{n}\) jsou vzájemně kolmé, tzn. \(\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0\). Pokud parametrem křivky není její oblouk \(s\), ale obecný parametr \(t\), tzn. křivka je dána rovnicí \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\), pak je jednotkový normálový vektor \(\mathbf{n}\) dán vztahem

\(\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}\),

kde \(c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}\) pokud platí \(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0\) a \(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0\).

Související články

• Průvodní trojhran
• Frenetovy vzorce
• Binormála
• Tečna