Normála

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 19. 8. 2022, 08:43

Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu. Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů - tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy. Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.

Normála plochy

Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě.

Je-li rovina dána rovnicí $a x + b y + c z + d = 0$ , potom je její normálový vektor n roven $(a, b, c)$ . Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi

x = x (r, s),

y = y (r, s),

z = z (r, s),

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

n = \frac{\partial r}{\partial r} \times \frac{\partial r}{\partial s} = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s} \\ e_{1}, & e_{2}, & e_{3} \end{matrix} |,

což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:

n = | \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}}, & \dots, & \frac{\partial x_{n}}{\partial p_{1}} \\ \dots, & \dots, & \dots \\ \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{n - 1}}, & \dots, & \frac{\partial x_{n}}{\partial p_{n - 1}} \\ e_{1}, & \dots, & m a t h b f e_{n} \end{matrix} |,

kde $p_{1}, \dots, p_{n - 1}$ jsou parametry plochy. Je-li plocha dána jako množina bodů $(x, y, z)$ splňujících rovnici : $F (x, y, z) = 0$ , potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:

n = \nabla F (x, y, z)

.

Normála křivky

Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky $r = r (s)$ , kde $s$ je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor $t$ v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě. Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem $\frac{d t}{d s}$ . Jednotkový vektor $n$ , který má stejný směr jako vektor $\frac{d t}{d s}$ , se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí $\frac{d^{2} t}{d s^{2}} \neq 0$ . Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako

n = \frac{1}{k_{1}} \frac{d t}{d s} = \frac{1}{k_{1}} \frac{d^{2} r}{d s^{2}}

,

kde $k_{1}$ je tzv. první křivost. Vektory $t$ a $n$ jsou vzájemně kolmé, tzn. $t \cdot n = 0$ . Pokud parametrem křivky není její oblouk $s$ , ale obecný parametr $t$ , tzn. křivka je dána rovnicí $r = r (t)$ , pak je jednotkový normálový vektor $n$ dán vztahem

n = \frac{\frac{d^{2} r}{d t^{2}} c + \frac{d r}{d t} \frac{d c}{d t}}{\sqrt{(\frac{d^{2} r}{d t^{2}} c + \frac{d r}{d t} \frac{d c}{d t}) \cdot (\frac{d^{2} r}{d t^{2}} c + \frac{d r}{d t} \frac{d c}{d t})}}

,

kde $c = \frac{1}{\sqrt{\frac{d r}{d t} \cdot \frac{d r}{d t}}} = \frac{1}{\frac{d s}{d t}}$ pokud platí $\frac{d^{2} r}{d t^{2}} \neq 0$ a $\frac{d^{2} r}{d t^{2}} c + \frac{d r}{d t} \frac{d c}{d t} \neq 0$ .

Související články

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k [[prostorová křivka|prostorové křivce]]. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří '''normálový prostor''', např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály '''[[normálová rovina|normálovou rovinu]]'''.
 ==Normála plochy==
-[[Soubor:Surface_normal_illustration.png|thumb|Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě.]]
+[[File:Surface normal illustration.png|thumb|240px|Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě.]]
-Je-li [[rovina]] dána [[rovnice|rovnicí]] <big>\(ax+by+cz+d=0</math>, potom je její '''normálový vektor''' '''n''' roven <big>\((a,b,c)</math>.
+Je-li [[rovina]] dána [[rovnice|rovnicí]] <big>\(ax+by+cz+d=0\)</big>, potom je její '''normálový vektor''' '''n''' roven <big>\((a,b,c)\)</big>.
 Je-li příslušně [[hladká plocha]] dána [[rovnice|rovnicemi]]
-:<big>\(x = x(r,s),\,</math>
+:<big>\(x = x(r,s),\,\)</big>
-:<big>\(y = y(r,s),\,</math>
+:<big>\(y = y(r,s),\,\)</big>
-:<big>\(z = z(r,s),\,</math>
+:<big>\(z = z(r,s),\,\)</big>
 potom je vektor normály až na znaménko udán jako
-:<big>\(\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left|\begin{matrix}
+:<big>\(\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left| $\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s} \\ e_{1}, & e_{2}, & e_{3} \end{matrix}$ \right|,\)</big>
-\frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r}\
-\frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s}\
-\mathbf{e}_1, & \mathbf{e}_2, & \mathbf{e}_3\end{matrix}\right|,</math>
 což má přímé zobecnění v ''n''-rozměrném prostoru:
-:<big>\(\mathbf{n} =  \left|\begin{matrix}
+:<big>\(\mathbf{n} = \left| $\begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}}, & \dots, & \frac{\partial x_{n}}{\partial p_{1}} \\ \dots, & \dots, & \dots \\ \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{n - 1}}, & \dots, & \frac{\partial x_{n}}{\partial p_{n - 1}} \\ e_{1}, & \dots, & m a t h b f e_{n} \end{matrix}$ \right|,\)</big>
-\frac{\partial x_1}{\partial p_1}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_1}\
+kde <big>\(p_1,\dots,p_{n-1}\)</big> jsou parametry plochy.
-\dots, & \dots, & \dots \
+Je-li plocha dána jako množina bodů <big>\((x,y,z)\)</big> splňujících rovnici :<big>\(F(x,y,z)=0\)</big>, potom určíme '''vektor normály''' až na znaménko jako [[gradient]] ''F'':
-\frac{\partial x_1}{\partial p_{n-1}}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_{n-1}}\
+:<big>\(\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z)\)</big>.
-\mathbf{e}_1, & \dots, & \mathbf{e}_n\end{matrix}\right|,</math>
-kde <big>\(p_1,\dots,p_{n-1}</math> jsou parametry plochy.
-Je-li plocha dána jako množina bodů <big>\((x,y,z)</math> splňujících rovnici :<big>\(F(x,y,z)=0</math>, potom určíme '''vektor normály''' až na znaménko jako [[gradient]] ''F'':
-:<big>\(\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z)</math>.
 ==Normála křivky==
-Všechny [[přímka|přímky]], které prochází daným bodem [[křivka|křivky]] <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)</math>, kde <big>\(s</math> je [[oblouk křivky]], a jsou [[Ortogonalita|kolmé]] na [[tečný vektor]] <big>\(\mathbf{t}</math> v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.
+Všechny [[přímka|přímky]], které prochází daným bodem [[křivka|křivky]] <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)\)</big>, kde <big>\(s\)</big> je [[oblouk křivky]], a jsou [[Ortogonalita|kolmé]] na [[tečný vektor]] <big>\(\mathbf{t}\)</big> v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.
-'''Hlavní (první) normálou''' křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem <big>\(\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>.
+'''Hlavní (první) normálou''' křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem <big>\(\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}\)</big>.
-[[Jednotkový vektor]] <big>\(\mathbf{n}</math>, který má stejný směr jako vektor <big>\(\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>, se nazývá ''jednotkový vektor hlavní (první) normály''. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí <big>\(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0</math>.
+[[Jednotkový vektor]] <big>\(\mathbf{n}\)</big>, který má stejný směr jako vektor <big>\(\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}\)</big>, se nazývá ''jednotkový vektor hlavní (první) normály''. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí <big>\(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0\)</big>.
 Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí [[Frenetovy vzorce|Frenetových vzorců]] vyjádřit jako
-:<big>\(\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}</math>,
+:<big>\(\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}\)</big>,
-kde <big>\(k_1</math> je tzv. [[první křivost]].
+kde <big>\(k_1\)</big> je tzv. [[první křivost]].
-Vektory <big>\(\mathbf{t}</math> a <big>\(\mathbf{n}</math> jsou vzájemně [[Ortogonalita|kolmé]], tzn. <big>\(\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0</math>.
+Vektory <big>\(\mathbf{t}\)</big> a <big>\(\mathbf{n}\)</big> jsou vzájemně [[Ortogonalita|kolmé]], tzn. <big>\(\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0\)</big>.
-Pokud parametrem křivky není její [[oblouk křivky|oblouk]] <big>\(s</math>, ale obecný parametr <big>\(t</math>, tzn. křivka je dána rovnicí <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math>, pak je jednotkový normálový vektor <big>\(\mathbf{n}</math> dán vztahem
+Pokud parametrem křivky není její [[oblouk křivky|oblouk]] <big>\(s\)</big>, ale obecný parametr <big>\(t\)</big>, tzn. křivka je dána rovnicí <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\)</big>, pak je jednotkový normálový vektor <big>\(\mathbf{n}\)</big> dán vztahem
-:<big>\(\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}</math>,
+:<big>\(\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}\)</big>,
-kde <big>\(c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}</math> pokud platí <big>\(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0</math> a <big>\(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0</math>.
+kde <big>\(c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}\)</big> pokud platí <big>\(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0\)</big> a <big>\(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0\)</big>.
 == Související články ==
 * [[Průvodní trojhran]]