Těleso (algebra)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Těleso (angl. division ring) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace. Je rozšířením okruhu, oproti kterému navíc přináší existenci inverzního prvku pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Nejčastěji se tělesem rozumí komutativní těleso, ve kterém je operace násobení komutativní, případně takové těleso, u něhož není komutativita násobení podstatná či není známo, zda je násobení komutativní.^[1] To odpovídá tomu, že nejčastěji uvažovaná tělesa, totiž reálná čísla, racionální čísla a komplexní čísla, jsou všechna komutativní. Rovněž jsou podle Wedderburnovy věty komutativní i všechna konečná tělesa. Příkladem nekomutativního tělesa je těleso kvaternionů.

Definice tělesa

Trojici \((\mathcal{F},+,\cdot)\), kde \(\mathcal{F}\) je množina a + (sčítání) a \(\cdot\) (násobení) jsou binární operace, nazveme tělesem, je-li \((\mathcal{F}, +, \cdot)\) okruh a platí-li navíc

pro každé \(x \in \mathcal{F} \setminus \{ 0 \}\) existuje \(y \in \mathcal{F}\) takové, že \(x \cdot y = y \cdot x = 1\), což značíme \(y = x^{-1}\).

Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina F s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:

sčítání, přičemž (F,+,-,0) je Abelova grupa (+ je komutativní),
násobení, přičemž \((F\setminus\{0\},\cdot,^{-1},1)\) je grupa,

a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.

\(a(b+c) = ab + ac\)

\((b+c)a = ba + ca\)

Nadtěleso tělesa \(\mathcal{F}\) je takové těleso, že \(\mathcal{F}\) je jeho podmnožinou.

Příklady těles

Množina racionálních čísel \(\mathbb{Q}\)
Množina reálných čísel \(\mathbb{R}\) a její největší algebraické komutativní nadtěleso, množina komplexních čísel \(\mathbb{C}\)
Kvaterniony, nekomutativní těleso, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel \(\mathbb{R}\)
Těleso (reálných) racionálních funkcí \(\mathbb{R}(x)\)
Množina zbytkových tříd \(\mathbb{Z}_p\) pro každé prvočíslo \(p\).
Galoisova tělesa \(\operatorname{GF}(p^n)\)

Související články

Archimédovské těleso (algebra)

Externí odkazy

Reference

↑ KUROŠ, Alexandr Gennaďjevič. Kapitoly z obecné algebry. Praha : Academia, 1977. Kapitola II. Grupy a okruhy.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[Kuro.C5.A1-0] KUROŠ, Alexandr Gennaďjevič. Kapitoly z obecné algebry. Praha : Academia, 1977. Kapitola II. Grupy a okruhy.

[1]

@@ Řádka 12: / Řádka 12: @@
 == Definice tělesa ==
-Trojici <math>(\mathcal{F},+,\cdot)</math>, kde <math>\mathcal{F}</math> je [[množina]] a + ([[sčítání]]) a <math>\cdot</math> ([[násobení]]) jsou [[binární operace]], nazveme '''tělesem''', je-li <math>(\mathcal{F}, +, \cdot)</math> [[okruh (algebra)|okruh]] a platí-li navíc
+Trojici <big>\((\mathcal{F},+,\cdot)\)</big>, kde <big>\(\mathcal{F}\)</big> je [[množina]] a + ([[sčítání]]) a <big>\(\cdot\)</big> ([[násobení]]) jsou [[binární operace]], nazveme '''tělesem''', je-li <big>\((\mathcal{F}, +, \cdot)\)</big> [[okruh (algebra)|okruh]] a platí-li navíc
-* pro každé <math>x \in \mathcal{F} \setminus \{ 0 \}</math> existuje <math>y \in \mathcal{F}</math> takové, že <math>x \cdot y = y \cdot x = 1</math>, což značíme <math>y = x^{-1}</math>.
+* pro každé <big>\(x \in \mathcal{F} \setminus \{ 0 \}\)</big> existuje <big>\(y \in \mathcal{F}\)</big> takové, že <big>\(x \cdot y = y \cdot x = 1\)</big>, což značíme <big>\(y = x^{-1}\)</big>.
 Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina ''F'' s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:
 * sčítání, přičemž (''F'',+,-,0) je [[Abelova grupa]] (+ je [[Komutativita|komutativní]]),
-* násobení, přičemž <math>(F\setminus\{0\},\cdot,^{-1},1)</math> je [[grupa]],
+* násobení, přičemž <big>\((F\setminus\{0\},\cdot,^{-1},1)\)</big> je [[grupa]],
 a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.
-:<math>a(b+c) = ab + ac</math>
+:<big>\(a(b+c) = ab + ac\)</big>
-:<math>(b+c)a = ba + ca</math>
+:<big>\((b+c)a = ba + ca\)</big>
-'''Nadtěleso''' tělesa <math>\mathcal{F}</math> je takové těleso, že <math>\mathcal{F}</math> je jeho [[podmnožina|podmnožinou]].
+'''Nadtěleso''' tělesa <big>\(\mathcal{F}\)</big> je takové těleso, že <big>\(\mathcal{F}\)</big> je jeho [[podmnožina|podmnožinou]].
 == Příklady těles ==
-* Množina [[Racionální číslo|racionálních čísel]] <math>\mathbb{Q}</math>
+* Množina [[Racionální číslo|racionálních čísel]] <big>\(\mathbb{Q}\)</big>
-* Množina [[Reálné číslo|reálných čísel]] <math>\mathbb{R}</math> a její největší [[algebraické rozšíření|algebraické]] komutativní nadtěleso, množina [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] <math>\mathbb{C}</math>
+* Množina [[Reálné číslo|reálných čísel]] <big>\(\mathbb{R}\)</big> a její největší [[algebraické rozšíření|algebraické]] komutativní nadtěleso, množina [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] <big>\(\mathbb{C}\)</big>
-* [[Kvaternion]]y, nekomutativní těleso, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel <math>\mathbb{R}</math>
+* [[Kvaternion]]y, nekomutativní těleso, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel <big>\(\mathbb{R}\)</big>
-* Těleso (reálných) racionálních funkcí <math>\mathbb{R}(x)</math>
+* Těleso (reálných) racionálních funkcí <big>\(\mathbb{R}(x)\)</big>
-* [[Množina zbytkových tříd]] <math>\mathbb{Z}_p</math> pro každé [[prvočíslo]] <math>p</math>.
+* [[Množina zbytkových tříd]] <big>\(\mathbb{Z}_p\)</big> pro každé [[prvočíslo]] <big>\(p\)</big>.
-* [[Konečné těleso|Galoisova tělesa]] <math>\operatorname{GF}(p^n)</math>
+* [[Konečné těleso|Galoisova tělesa]] <big>\(\operatorname{GF}(p^n)\)</big>
 == Související články ==