Relativistická hmotnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Relativistická hmotnost je hmotnost tělesa, kterou měří pozorovatel v teorii relativity. Již podle speciální teorie relativity není hmotnost stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na tom, jak rychle se těleso vůči pozorovateli pohybuje.

Lze ji spočítat podle vzorce

m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

,

kde $m_{0}$ je klidová hmotnost (nebo také invariantní či vlastní hmotnost), $v$ je rychlost tělesa vůči pozorovateli a $c$ rychlost světla.

Odvození

Uvažujme nepružnou srážku popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi, přičemž boost, jehož rychlost je $ω$ , probíhá podél osy x. Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako

m_{1} + m_{2} = M,

v_{1} m_{1} + v_{2} m_{2} = V M,

m_{1}^{'} + m_{2}^{'} = M^{'},

v_{1}^{'} m_{1}^{'} + v_{2}^{'} m_{2}^{'} = V^{'} M^{'} .

Dále doplníme vztahy pro sčítání rychlostí

v_{1}^{'} = \frac{v_{1} - ω}{1 - \frac{v_{1} ω}{c^{2}}},

v_{2}^{'} = \frac{v_{2} - ω}{1 - \frac{v_{2} ω}{c^{2}}},

V^{'} = \frac{V - ω}{1 - \frac{V ω}{c^{2}}} .

Pro jednoduchost položíme $v_{1} = 0$ . Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah

(m_{1} m_{2}^{'} - m_{1}^{'} m_{2} + m_{2} m_{1}^{'} \frac{v_{2} ω}{c^{2}}) = 0.

Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát

m_{1} =^{0} m_{1} f (0),

m_{1}^{'} =^{0} m_{1} f (ω),

m_{2} =^{0} m_{2} f (v_{2}),

m_{2}^{'} =^{0} m_{2} f (v_{2} - ω),

předchozí rovnici tedy přepíšeme na

\frac{f (v - ω)}{f (ω) f (v_{2})} \frac{1}{1 - \frac{v_{2} ω}{c^{2}}} = 1.

Pro $v_{2} = ω$ tedy (za podmínky $f (0) = 1$ ) získáme

f (ω) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{ω^{2}}{c^{2}}}},

což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Relativistická hmotnost|700}}
+'''Relativistická hmotnost''' je [[hmotnost]] [[těleso|tělesa]], kterou měří [[pozorovatel]] v [[teorie relativity|teorii relativity]]. Již podle [[speciální teorie relativity]] není hmotnost stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na tom, jak rychle se těleso vůči pozorovateli pohybuje.
+Lze ji spočítat podle vzorce
+:<big> $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ </big>,
+kde <big> $m_{0}$ </big> je [[klidová hmotnost]] (nebo také [[invariant]]ní či vlastní hmotnost), <big> $v$ </big> je [[rychlost]] tělesa vůči pozorovateli a <big> $c$ </big> [[rychlost světla]].
+== Odvození ==
+Uvažujme [[nepružná srážka|nepružnou srážku]] popsanou ve dvou [[vztažná soustava|vztažných soustavách]] popsaných [[kartézské souřadnice|kartézskými souřadnicemi]], přičemž [[Lorentzova grupa|boost]], jehož rychlost je <big> $ω$ </big>, probíhá podél osy ''x''. Rozepíšeme [[zákon zachování energie]] a [[zákon zachování hybnosti]] v nečárkované a čárkované soustavě jako
+:<big> $m_{1} + m_{2} = M,$ </big>
+:<big> $v_{1} m_{1} + v_{2} m_{2} = V M,$ </big>
+:<big> $m_{1}^{'} + m_{2}^{'} = M^{'},$ </big>
+:<big> $v_{1}^{'} m_{1}^{'} + v_{2}^{'} m_{2}^{'} = V^{'} M^{'} .$ </big>
+Dále doplníme vztahy pro [[skládání rychlostí|sčítání rychlostí]]
+:<big> $v_{1}^{'} = \frac{v_{1} - ω}{1 - \frac{v_{1} ω}{c^{2}}},$ </big>
+:<big> $v_{2}^{'} = \frac{v_{2} - ω}{1 - \frac{v_{2} ω}{c^{2}}},$ </big>
+:<big> $V^{'} = \frac{V - ω}{1 - \frac{V ω}{c^{2}}} .$ </big>
+Pro jednoduchost položíme <big> $v_{1} = 0$ </big>. Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah
+:<big> $(m_{1} m_{2}^{'} - m_{1}^{'} m_{2} + m_{2} m_{1}^{'} \frac{v_{2} ω}{c^{2}}) = 0.$ </big>
+Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát
+:<big> $m_{1} =^{0} m_{1} f (0),$ </big>
+:<big> $m_{1}^{'} =^{0} m_{1} f (ω),$ </big>
+:<big> $m_{2} =^{0} m_{2} f (v_{2}),$ </big>
+:<big> $m_{2}^{'} =^{0} m_{2} f (v_{2} - ω),$ </big>
+předchozí rovnici tedy přepíšeme na
+:<big> $\frac{f (v - ω)}{f (ω) f (v_{2})} \frac{1}{1 - \frac{v_{2} ω}{c^{2}}} = 1.$ </big>
+Pro <big> $v_{2} = ω$ </big> tedy (za podmínky <big> $f (0) = 1$ </big>) získáme
+:<big> $f (ω) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{ω^{2}}{c^{2}}}},$ </big>
+což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.
+{{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Speciální teorie relativity]]