Relativistická hmotnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Relativistická hmotnost je hmotnost tělesa, kterou měří pozorovatel v teorii relativity. Již podle speciální teorie relativity není hmotnost stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na tom, jak rychle se těleso vůči pozorovateli pohybuje.

Lze ji spočítat podle vzorce

m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

,

kde $m_{0}$ je klidová hmotnost (nebo také invariantní či vlastní hmotnost), $v$ je rychlost tělesa vůči pozorovateli a $c$ rychlost světla.

Odvození

Uvažujme nepružnou srážku popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi, přičemž boost, jehož rychlost je $ω$ , probíhá podél osy x. Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako

m_{1} + m_{2} = M,

v_{1} m_{1} + v_{2} m_{2} = V M,

m_{1}^{'} + m_{2}^{'} = M^{'},

v_{1}^{'} m_{1}^{'} + v_{2}^{'} m_{2}^{'} = V^{'} M^{'} .

Dále doplníme vztahy pro sčítání rychlostí

v_{1}^{'} = \frac{v_{1} - ω}{1 - \frac{v_{1} ω}{c^{2}}},

v_{2}^{'} = \frac{v_{2} - ω}{1 - \frac{v_{2} ω}{c^{2}}},

V^{'} = \frac{V - ω}{1 - \frac{V ω}{c^{2}}} .

Pro jednoduchost položíme $v_{1} = 0$ . Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah

(m_{1} m_{2}^{'} - m_{1}^{'} m_{2} + m_{2} m_{1}^{'} \frac{v_{2} ω}{c^{2}}) = 0.

Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát

m_{1} =^{0} m_{1} f (0),

m_{1}^{'} =^{0} m_{1} f (ω),

m_{2} =^{0} m_{2} f (v_{2}),

m_{2}^{'} =^{0} m_{2} f (v_{2} - ω),

předchozí rovnici tedy přepíšeme na

\frac{f (v - ω)}{f (ω) f (v_{2})} \frac{1}{1 - \frac{v_{2} ω}{c^{2}}} = 1.

Pro $v_{2} = ω$ tedy (za podmínky $f (0) = 1$ ) získáme

f (ω) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{ω^{2}}{c^{2}}}},

což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 Lze ji spočítat podle vzorce
-:<big>\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>,
+:<big>\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)</big>,
-kde <big>\(m_0</math> je [[klidová hmotnost]] (nebo také [[invariant]]ní či vlastní hmotnost), <big>\(v</math> je [[rychlost]] tělesa vůči pozorovateli a <big>\(c</math> [[rychlost světla]].
+kde <big>\(m_0\)</big> je [[klidová hmotnost]] (nebo také [[invariant]]ní či vlastní hmotnost), <big>\(v\)</big> je [[rychlost]] tělesa vůči pozorovateli a <big>\(c\)</big> [[rychlost světla]].
 == Odvození ==
-Uvažujme [[nepružná srážka|nepružnou srážku]] popsanou ve dvou [[vztažná soustava|vztažných soustavách]] popsaných [[kartézské souřadnice|kartézskými souřadnicemi]], přičemž [[Lorentzova grupa|boost]], jehož rychlost je <big>\(\omega</math>, probíhá podél osy ''x''. Rozepíšeme [[zákon zachování energie]] a [[zákon zachování hybnosti]] v nečárkované a čárkované soustavě jako
+Uvažujme [[nepružná srážka|nepružnou srážku]] popsanou ve dvou [[vztažná soustava|vztažných soustavách]] popsaných [[kartézské souřadnice|kartézskými souřadnicemi]], přičemž [[Lorentzova grupa|boost]], jehož rychlost je <big>\(\omega\)</big>, probíhá podél osy ''x''. Rozepíšeme [[zákon zachování energie]] a [[zákon zachování hybnosti]] v nečárkované a čárkované soustavě jako
-:<big>\(m_1+m_2 = M,\,</math>
+:<big>\(m_1+m_2 = M,\,\)</big>
-:<big>\(v_1 m_1+v_2m_2=V M,\,</math>
+:<big>\(v_1 m_1+v_2m_2=V M,\,\)</big>
-:<big>\(m'_1+m'_2 = M',\,</math>
+:<big>\(m'_1+m'_2 = M',\,\)</big>
-:<big>\(v'_1 m'_1+v'_2m'_2=V' M'.\,</math>
+:<big>\(v'_1 m'_1+v'_2m'_2=V' M'.\,\)</big>
 Dále doplníme vztahy pro [[skládání rychlostí|sčítání rychlostí]]
-:<big>\(v'_1=\frac{v_1-\omega}{1-\frac{v_1\omega}{c^2}},</math>
+:<big>\(v'_1=\frac{v_1-\omega}{1-\frac{v_1\omega}{c^2}},\)</big>
-:<big>\(v'_2=\frac{v_2-\omega}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}},</math>
+:<big>\(v'_2=\frac{v_2-\omega}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}},\)</big>
-:<big>\(V'=\frac{V-\omega}{1-\frac{V\omega}{c^2}}.</math>
+:<big>\(V'=\frac{V-\omega}{1-\frac{V\omega}{c^2}}.\)</big>
-Pro jednoduchost položíme <big>\(v_1=0</math>. Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah
+Pro jednoduchost položíme <big>\(v_1=0\)</big>. Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah
-:<big>\((m_1 m'_2-m'_1 m_2+m_2 m'_1 \,\frac{v_2 \omega}{c^2})=0.\,</math>
+:<big>\((m_1 m'_2-m'_1 m_2+m_2 m'_1 \,\frac{v_2 \omega}{c^2})=0.\,\)</big>
 Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát
-:<big>\(m_1={}^0m_1 f(0),\,</math>
+:<big>\(m_1={}^0m_1 f(0),\,\)</big>
-:<big>\(m'_1={}^0m_1 f(\omega),\,</math>
+:<big>\(m'_1={}^0m_1 f(\omega),\,\)</big>
-:<big>\(m_2={}^0m_2 f(v_2),\,</math>
+:<big>\(m_2={}^0m_2 f(v_2),\,\)</big>
-:<big>\(m'_2={}^0m_2 f(v_2 -\omega),\,</math>
+:<big>\(m'_2={}^0m_2 f(v_2 -\omega),\,\)</big>
 předchozí rovnici tedy přepíšeme na
-:<big>\(\frac{f(v-\omega)}{f(\omega)f(v_2)}\frac{1}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}}=1.\,</math>
+:<big>\(\frac{f(v-\omega)}{f(\omega)f(v_2)}\frac{1}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}}=1.\,\)</big>
-Pro <big>\(v_2=\omega</math> tedy (za podmínky <big>\(f(0) = 1</math>) získáme
+Pro <big>\(v_2=\omega\)</big> tedy (za podmínky <big>\(f(0) = 1\)</big>) získáme
-:<big>\(f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}},</math>
+:<big>\(f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}},\)</big>
 což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.