Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Koeficient špičatosti
Z Multimediaexpo.cz
m (1 revizi) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.) | |||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
- | + | '''Koeficient špičatosti''' ('''excesu''') je [[charakteristika náhodné veličiny|charakteristika]] rozdělení [[náhodná veličina|náhodné veličiny]], která porovnává dané [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] s [[normální rozdělení|normálním rozdělením pravděpodobnosti]]. | |
+ | Koeficient špičatosti se obvykle označuje <big>\(\gamma_2\)</big>. | ||
+ | |||
+ | ==Definice== | ||
+ | Koeficient špičatosti je definován vztahem | ||
+ | :<big>\(\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3\)</big>, | ||
+ | kde <big>\(\mu_4\)</big> je čtvrtý [[centrální moment]], <big>\(\sigma\)</big> je [[směrodatná odchylka]], <big>\(\operatorname{E}(X)\)</big> označuje [[střední hodnota|střední hodnotu]] a <big>\(\operatorname{var}\,X\)</big> je [[rozptyl (statistika)|rozptyl]]. | ||
+ | ==Vlastnosti== | ||
+ | |||
+ | [[Normální rozdělení]] má špičatost nula. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její [[střední hodnota|střední hodnoty]] a hlavní vliv | ||
+ | na rozptyl mají málo pravděpodobné [[odlehlá hodnota|odlehlé hodnoty]]. Křivka [[Hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustoty]] je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a | ||
+ | jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení. | ||
+ | |||
+ | Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení. | ||
+ | |||
+ | ==Výběrový koeficient špičatosti== | ||
+ | |||
+ | Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem | ||
+ | |||
+ | :<big>\(g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}\)</big>, | ||
+ | |||
+ | kde <big>\(\overline{x}\)</big> je [[Výběrový průměr|výběrový průměr]], <big>\(m_2\)</big> je [[výběrový rozptyl]] a <big>\(m_4\)</big> je čtvrtý [[Centrální moment#Výběrový centrální moment|výběrový centrální moment]]. | ||
+ | |||
+ | Tento odhad je [[Vychýlený odhad|vychýlený]]. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:<ref>{{cite web|title=Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population|url=http://www.misug.org/mifolder/LAn_Skewness_Kurtosis.pdf|publisher=Michigan SAS Users Group|accessdate=18 July 2011}}</ref> | ||
+ | |||
+ | <big>\( | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | G_2 = \frac{M_4}{M_2^2} &= \frac{(n-1)}{(n-2)(n-3)}\left((n+1)g_2+6\right) \\ | ||
+ | b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3 | ||
+ | \end{align} | ||
+ | \)</big> | ||
+ | |||
+ | Pro rozptyly těchto odhadů platí <big>\(\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2\)</big>. | ||
+ | |||
+ | == Reference == | ||
+ | <references/> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{Článek z Wikipedie}} | ||
[[Kategorie:Statistika]] | [[Kategorie:Statistika]] |
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52
Koeficient špičatosti (excesu) je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která porovnává dané rozdělení s normálním rozdělením pravděpodobnosti.
Koeficient špičatosti se obvykle označuje \(\gamma_2\).
Obsah |
Definice
Koeficient špičatosti je definován vztahem
- \(\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3\),
kde \(\mu_4\) je čtvrtý centrální moment, \(\sigma\) je směrodatná odchylka, \(\operatorname{E}(X)\) označuje střední hodnotu a \(\operatorname{var}\,X\) je rozptyl.
Vlastnosti
Normální rozdělení má špičatost nula. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její střední hodnoty a hlavní vliv na rozptyl mají málo pravděpodobné odlehlé hodnoty. Křivka hustoty je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.
Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.
Výběrový koeficient špičatosti
Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem
- \(g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}\),
kde \(\overline{x}\) je výběrový průměr, \(m_2\) je výběrový rozptyl a \(m_4\) je čtvrtý výběrový centrální moment.
Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:[1]
\( \begin{align} G_2 = \frac{M_4}{M_2^2} &= \frac{(n-1)}{(n-2)(n-3)}\left((n+1)g_2+6\right) \\ b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3 \end{align} \)
Pro rozptyly těchto odhadů platí \(\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2\).
Reference
Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|
Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |