Normála

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu. Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů - tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy. Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.

Normála plochy

Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě.

Je-li rovina dána rovnicí \(ax+by+cz+d=0</math>, potom je její normálový vektor n roven \((a,b,c)</math>. Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi

\(x = x(r,s),\,</math>

\(y = y(r,s),\,</math>

\(z = z(r,s),\,</math>

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

\(\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left|\begin{matrix}

\frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s}\\ \mathbf{e}_1, & \mathbf{e}_2, & \mathbf{e}_3\end{matrix}\right|,</math> což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:

\(\mathbf{n} = \left|\begin{matrix}

\frac{\partial x_1}{\partial p_1}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_1}\\ \dots, & \dots, & \dots \\ \frac{\partial x_1}{\partial p_{n-1}}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_{n-1}}\\ \mathbf{e}_1, & \dots, & \mathbf{e}_n\end{matrix}\right|,</math> kde \(p_1,\dots,p_{n-1}</math> jsou parametry plochy. Je-li plocha dána jako množina bodů \((x,y,z)</math> splňujících rovnici :\(F(x,y,z)=0</math>, potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:

\(\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z)</math>.

Normála křivky

Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)</math>, kde \(s</math> je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor \(\mathbf{t}</math> v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě. Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem \(\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>. Jednotkový vektor \(\mathbf{n}</math>, který má stejný směr jako vektor \(\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>, se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí \(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0</math>. Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako

\(\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}</math>,

kde \(k_1</math> je tzv. první křivost. Vektory \(\mathbf{t}</math> a \(\mathbf{n}</math> jsou vzájemně kolmé, tzn. \(\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0</math>. Pokud parametrem křivky není její oblouk \(s</math>, ale obecný parametr \(t</math>, tzn. křivka je dána rovnicí \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math>, pak je jednotkový normálový vektor \(\mathbf{n}</math> dán vztahem

\(\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}</math>,

kde \(c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}</math> pokud platí \(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0</math> a \(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0</math>.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 4: / Řádka 4: @@
 ==Normála plochy==
 [[Soubor:Surface_normal_illustration.png|thumb|Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě.]]
-Je-li [[rovina]] dána [[rovnice|rovnicí]] <math>ax+by+cz+d=0</math>, potom je její '''normálový vektor''' '''n''' roven <math>(a,b,c)</math>.
+Je-li [[rovina]] dána [[rovnice|rovnicí]] <big>\(ax+by+cz+d=0</math>, potom je její '''normálový vektor''' '''n''' roven <big>\((a,b,c)</math>.
 Je-li příslušně [[hladká plocha]] dána [[rovnice|rovnicemi]]
-:<math>x = x(r,s),\,</math>
+:<big>\(x = x(r,s),\,</math>
-:<math>y = y(r,s),\,</math>
+:<big>\(y = y(r,s),\,</math>
-:<math>z = z(r,s),\,</math>
+:<big>\(z = z(r,s),\,</math>
 potom je vektor normály až na znaménko udán jako
-:<math>\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left|\begin{matrix}
+:<big>\(\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left|\begin{matrix}
 \frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r}\\
 \frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s}\\
 \mathbf{e}_1, & \mathbf{e}_2, & \mathbf{e}_3\end{matrix}\right|,</math>
 což má přímé zobecnění v ''n''-rozměrném prostoru:
-:<math>\mathbf{n} =  \left|\begin{matrix}
+:<big>\(\mathbf{n} =  \left|\begin{matrix}
 \frac{\partial x_1}{\partial p_1}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_1}\\
 \dots, & \dots, & \dots \\
 \frac{\partial x_1}{\partial p_{n-1}}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_{n-1}}\\
 \mathbf{e}_1, & \dots, & \mathbf{e}_n\end{matrix}\right|,</math>
-kde <math>p_1,\dots,p_{n-1}</math> jsou parametry plochy.
+kde <big>\(p_1,\dots,p_{n-1}</math> jsou parametry plochy.
-Je-li plocha dána jako množina bodů <math>(x,y,z)</math> splňujících rovnici :<math>F(x,y,z)=0</math>, potom určíme '''vektor normály''' až na znaménko jako [[gradient]] ''F'':
+Je-li plocha dána jako množina bodů <big>\((x,y,z)</math> splňujících rovnici :<big>\(F(x,y,z)=0</math>, potom určíme '''vektor normály''' až na znaménko jako [[gradient]] ''F'':
-:<math>\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z)</math>.
+:<big>\(\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z)</math>.
 ==Normála křivky==
-Všechny [[přímka|přímky]], které prochází daným bodem [[křivka|křivky]] <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)</math>, kde <math>s</math> je [[oblouk křivky]], a jsou [[Ortogonalita|kolmé]] na [[tečný vektor]] <math>\mathbf{t}</math> v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.
+Všechny [[přímka|přímky]], které prochází daným bodem [[křivka|křivky]] <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)</math>, kde <big>\(s</math> je [[oblouk křivky]], a jsou [[Ortogonalita|kolmé]] na [[tečný vektor]] <big>\(\mathbf{t}</math> v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.
-'''Hlavní (první) normálou''' křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem <math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>.
+'''Hlavní (první) normálou''' křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem <big>\(\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>.
-[[Jednotkový vektor]] <math>\mathbf{n}</math>, který má stejný směr jako vektor <math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>, se nazývá ''jednotkový vektor hlavní (první) normály''. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí <math>\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0</math>.
+[[Jednotkový vektor]] <big>\(\mathbf{n}</math>, který má stejný směr jako vektor <big>\(\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>, se nazývá ''jednotkový vektor hlavní (první) normály''. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí <big>\(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0</math>.
 Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí [[Frenetovy vzorce|Frenetových vzorců]] vyjádřit jako
-:<math>\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}</math>,
+:<big>\(\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}</math>,
-kde <math>k_1</math> je tzv. [[první křivost]].
+kde <big>\(k_1</math> je tzv. [[první křivost]].
-Vektory <math>\mathbf{t}</math> a <math>\mathbf{n}</math> jsou vzájemně [[Ortogonalita|kolmé]], tzn. <math>\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0</math>.
+Vektory <big>\(\mathbf{t}</math> a <big>\(\mathbf{n}</math> jsou vzájemně [[Ortogonalita|kolmé]], tzn. <big>\(\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0</math>.
-Pokud parametrem křivky není její [[oblouk křivky|oblouk]] <math>s</math>, ale obecný parametr <math>t</math>, tzn. křivka je dána rovnicí <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math>, pak je jednotkový normálový vektor <math>\mathbf{n}</math> dán vztahem
+Pokud parametrem křivky není její [[oblouk křivky|oblouk]] <big>\(s</math>, ale obecný parametr <big>\(t</math>, tzn. křivka je dána rovnicí <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math>, pak je jednotkový normálový vektor <big>\(\mathbf{n}</math> dán vztahem
-:<math>\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}</math>,
+:<big>\(\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}</math>,
-kde <math>c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}</math> pokud platí <math>\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0</math> a <math>\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0</math>.
+kde <big>\(c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}</math> pokud platí <big>\(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0</math> a <big>\(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0</math>.
 == Související články ==
 * [[Průvodní trojhran]]