V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Těleso (algebra)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Aktualizace)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Těleso (algebra)|700}}
+
'''Těleso''' (angl. ''division ring'') je [[algebraická struktura]], na které jsou definovány dvě [[binární operace]]. Je rozšířením [[okruh (algebra)|okruhu]], oproti kterému navíc přináší existenci [[Inverzní prvek|inverzního prvku]] pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).
 +
Nejčastěji se tělesem rozumí [[komutativní těleso]], ve kterém je operace násobení komutativní, případně takové těleso, u něhož není komutativita násobení podstatná či není známo, zda je násobení komutativní.<ref name="Kuroš">{{Citace monografie
 +
| příjmení =Kuroš
 +
| jméno = Alexandr Gennaďjevič
 +
| rok = 1977
 +
| titul = Kapitoly z obecné algebry
 +
| kapitola = II. Grupy a okruhy
 +
| vydavatel = Academia
 +
| místo = Praha
 +
}}</ref> To odpovídá tomu, že nejčastěji uvažovaná tělesa, totiž [[reálná čísla]], [[racionální čísla]] a [[komplexní čísla]], jsou všechna komutativní. Rovněž jsou podle [[Wedderburnova věta|Wedderburnovy věty]] komutativní i všechna [[konečné těleso|konečná tělesa]]. Příkladem [[nekomutativní těleso|nekomutativního tělesa]] je těleso [[kvaternion]]ů.
 +
 +
== Definice tělesa ==
 +
Trojici <math>(\mathcal{F},+,\cdot)</math>, kde <math>\mathcal{F}</math> je [[množina]] a + ([[sčítání]]) a <math>\cdot</math> ([[násobení]]) jsou [[binární operace]], nazveme '''tělesem''', je-li <math>(\mathcal{F}, +, \cdot)</math> [[okruh (algebra)|okruh]] a platí-li navíc
 +
* pro každé <math>x \in \mathcal{F} \setminus \{ 0 \}</math> existuje <math>y \in \mathcal{F}</math> takové, že <math>x \cdot y = y \cdot x = 1</math>, což značíme <math>y = x^{-1}</math>.
 +
 +
Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina ''F'' s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:
 +
 +
* sčítání, přičemž (''F'',+,-,0) je [[Abelova grupa]] (+ je [[Komutativita|komutativní]]),
 +
* násobení, přičemž <math>(F\setminus\{0\},\cdot,^{-1},1)</math> je [[grupa]],
 +
 +
a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.
 +
 +
:<math>a(b+c) = ab + ac</math>
 +
:<math>(b+c)a = ba + ca</math>
 +
 +
'''Nadtěleso''' tělesa <math>\mathcal{F}</math> je takové těleso, že <math>\mathcal{F}</math> je jeho [[podmnožina|podmnožinou]].
 +
 +
== Příklady těles ==
 +
* Množina [[Racionální číslo|racionálních čísel]] <math>\mathbb{Q}</math>
 +
* Množina [[Reálné číslo|reálných čísel]] <math>\mathbb{R}</math> a její největší [[algebraické rozšíření|algebraické]] komutativní nadtěleso, množina [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] <math>\mathbb{C}</math>
 +
* [[Kvaternion]]y, nekomutativní těleso, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel <math>\mathbb{R}</math>
 +
* Těleso (reálných) racionálních funkcí <math>\mathbb{R}(x)</math>
 +
* [[Množina zbytkových tříd]] <math>\mathbb{Z}_p</math> pro každé [[prvočíslo]] <math>p</math>.
 +
* [[Konečné těleso|Galoisova tělesa]] <math>\operatorname{GF}(p^n)</math>
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Archimédovské těleso (algebra)]]
 +
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [https://web.archive.org/web/20040927001600/http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node21.html Skripta Pěstujeme lineární algebru]
 +
* [http://mathworld.wolfram.com/Field.html Komutativní těleso na MathWorld (en)]
 +
* [http://hyperkrychle.cz/field.html Generování konečných těles]
 +
 +
== Reference ==
 +
<references />
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]

Verze z 28. 9. 2021, 22:25

Těleso (angl. division ring) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace. Je rozšířením okruhu, oproti kterému navíc přináší existenci inverzního prvku pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Nejčastěji se tělesem rozumí komutativní těleso, ve kterém je operace násobení komutativní, případně takové těleso, u něhož není komutativita násobení podstatná či není známo, zda je násobení komutativní.[1] To odpovídá tomu, že nejčastěji uvažovaná tělesa, totiž reálná čísla, racionální čísla a komplexní čísla, jsou všechna komutativní. Rovněž jsou podle Wedderburnovy věty komutativní i všechna konečná tělesa. Příkladem nekomutativního tělesa je těleso kvaternionů.

Obsah

Definice tělesa

Trojici <math>(\mathcal{F},+,\cdot)</math>, kde <math>\mathcal{F}</math> je množina a + (sčítání) a <math>\cdot</math> (násobení) jsou binární operace, nazveme tělesem, je-li <math>(\mathcal{F}, +, \cdot)</math> okruh a platí-li navíc

  • pro každé <math>x \in \mathcal{F} \setminus \{ 0 \}</math> existuje <math>y \in \mathcal{F}</math> takové, že <math>x \cdot y = y \cdot x = 1</math>, což značíme <math>y = x^{-1}</math>.

Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina F s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:

  • sčítání, přičemž (F,+,-,0) je Abelova grupa (+ je komutativní),
  • násobení, přičemž <math>(F\setminus\{0\},\cdot,^{-1},1)</math> je grupa,

a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.

<math>a(b+c) = ab + ac</math>
<math>(b+c)a = ba + ca</math>

Nadtěleso tělesa <math>\mathcal{F}</math> je takové těleso, že <math>\mathcal{F}</math> je jeho podmnožinou.

Příklady těles

Související články

Externí odkazy

Reference

  1. ↑ KUROŠ, Alexandr Gennaďjevič. Kapitoly z obecné algebry. Praha : Academia, 1977. Kapitola II. Grupy a okruhy.  


Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/T%C4%9Bleso_(algebra)“