The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 24, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).
Sylowovy věty
Z Multimediaexpo.cz
Sylowovy věty je souhrnný název pro několik matematických vět z oblasti teorie grup. Jsou částečným obrácením Lagrangeovy věty.
Zaručují pro prvočíselné dělitele \(p\) řádu grupy \(G\) existenci podgrup složených z prvků řádu \(p\) a dávají dodatečnou informaci o jejich počtu a vlastnostech.
Pojmenovány byly po norském matematikovi Ludwigu Sylowovi (* 12. prosince 1832, † 7. září 1918).
Sylowova p-podgrupa
Sylowovou \(p\)-podgrupou grupy \(G\), kde \(p\) je prvočíslo, nazýváme každou její podgrupu, která je maximální p-grupou (tj. takovou \(H\) ≤ \(G\), že každý prvek \(H\) má řád mocniny \(p\) a \(H\) je maximální s touto vlastností).
Množina všech Sylowových \(p\)-podgrup grupy \(G\) se značí \(Syl_p(G)\).
Znění vět
Znění i počet Sylowových vět se u různých autorů liší. Jako celek však Sylowovy věty dávají vždy tutéž informaci.
První Sylowova věta
- Nechť \(G\) je konečná grupa a \(p\) prvočíslo dělící její řád. Pak všechny Sylowovy \(p\)-podgrupy \(G\) jsou konjugovány (pro \(P, Q \) ∈ \( Syl_p(G)\) existuje \(g\) ∈ \(G\), že \(P=gQg^{-1}\)) a jejich počet je \(kp+1\) pro nějaké \(0\) ≤ \(k\) (tj. \(|Syl_p(G)|\) ≡ \(1\) \((mod\) \(p)\)).
Důsledky
Obsah |
- Všechny Sylowovy \(p\)-podgrupy \(G\) jsou izomorfní.
- Konečná grupa \(G\) obsahuje prvek řádu \(p\) pro každé prvočíslo \(p\), které dělí řád \(G\).
- Konečná grupa je p-grupou, právě když je řádu mocniny \(p\).
Druhá Sylowova věta
- Nechť \(G\) je konečná grupa řádu \(n=p^as\),kde \(p\) je prvočíslo, které nedělí \(s\) a \(a>0\). Pak všechny Sylowovy \(p\)-podgrupy \(G\) mají řád \(p^a\).
Třetí Sylowova věta
- Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo takové, že \(p^{k+1}\) dělí řád \(G\). Nechť dále \(H\) je podgrupa \(G\) (\(H\) ≤ \(G\)) řádu \(p^k\). Pak existuje grupa \(K\) řádu \(p^{k+1}\) splňující \(H\triangleleft K\leq G\) (tj. \(H\) je normální v \(K\)).
Literatura
- DRÁPAL, Aleš. Teorie grup – základní aspekty. Praha : Karolinum, 2000. ISBN 80-246-0162-1.
Související články
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |