Ortonormální báze

Z Multimediaexpo.cz

Ortonormální báze unitárního prostoru je pojem z lineární algebry a funkcionální analýzy označující takovou bázi onoho prostoru, jež je ortogonální a jejíž prvky jsou navíc normované, tedy prvky báze jsou jednotkové a jsou na sebe kolmé.

Tento pojem je důležitý pro konečně i nekonečně rozměrné prostory a obzvláště pak pro Hilbertovy prostory.

Konečně rozměrné prostory

Nechť $V$ je konečně rozměrný eukleidovský vektorový prostor se skalárním součinem $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, který indukuje normu $\Vert \cdot \Vert$. Pod ortonormální bází prostoru $V$ pak rozumíme bázi $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$ z $V$ s těmito vlastnostmi:

• $\Vert b_i\Vert =1$ pro všechny $i\in \{1,\dots ,n\}$.
• $⟨b_i,b_j⟩=0$ pro všechny $i,j\in \{1,\dots ,n\}$ s $i\ne j$.

Například následující množina je ortonormální bází euklidovského vektorového prostoru ${\mathbb{R}}^3$ (spolu s přirozeně definovaným skalárním součinem).

$\overrightarrow{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{k}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Každý z těchto vektorů má délku 1 a všechny jsou na sebe kolmé protože jejich skalární součin je roven nule.

Základním algoritmem pro získání ortonormální báze z libovolné báze je Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

Obecný případ

V obecném případě unitárního prostoru $V$ nekonečné dimenze, nazýváme ortonormálním systémem $S$ ve $V$ takový systém, jehož lineární obal leží hustě ve $V$.

Úplný ortonormální systém $S$ má proto tu vlastnost, že pro každý prvek $v\in V$ můžeme psát Fourierův rozvoj:

$v=\sum _{u\in S}⟨v,u⟩u$.

Je důležité zdůraznit, že ve smyslu tohoto odstavce, v protikladu k případu s konečnou dimenzí, není ortonormální báze žádnou bází v běžném smyslu lineární algebry. To znamená, že prvek $v$ nelze obecně zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu bázových vektorů (prvků z $S$), ale jen jako sumu počitatelného nekonečného počtu prvků z $S$, tedy jako nekonečnou řadu. Jinými slovy: Lineární obal není roven prostoru $V$, leží ale hustě v tomto prostoru.

Externí odkazy

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii