Minkowského prostor

Z Multimediaexpo.cz

Minkowského prostor se používá k popisu časoprostoru ve speciální teorii relativity. Matematicky jde o 4-rozměrný reálný lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Změnu inerciální vztažné soustavy odpovídající Lorentzově transformaci lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou čtyřvektory všech fyzikálních veličin.

Obsah [skrýt] 1 Složky vektoru 2 Skalární součin 3 Minkowského norma 4 Báze 5 Související články 6 Externí odkazy

Složky vektoru

Vektor v Minkowského prostoru $\mathbf{a}=a^{\mu }{\mathbf{e}}_{\mu }$ má 4 souřadnice

$a^{\mu }=(a^0,a^1,a^2,a^3).$

První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta $t$, ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím $x,y,z$. Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi sekundou a metrem je dán rychlostí světla ve vakuu $c=299792458\mathrm{m}.{\mathrm{s}}^{-1}$. V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá $c=1$. Vizte též přirozená soustava jednotek.

Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů v Minkowského prostoru ($\mathbf{a}=a^{\mu }{\mathbf{e}}_{\mu },\mathbf{b}=b^{\mu }{\mathbf{e}}_{\mu }$ ) je definován vztahem

$⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩\equiv a_{\mu }{b}^{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{a}^{\mu }{b}^{\nu }=-a_0{b}_0+a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3.$

Jako v eukleidovském prostoru, dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.

Minkowského norma

Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než Eukleidovská norma, protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.

$||\mathbf{a}|{|}^2=⟨\mathbf{a},\mathbf{a}⟩=-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2$

Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí $||\mathbf{a}|{|}^2=\pm 1$.

Báze

Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 ortogonální jednotkové vektory ${\mathbf{e}}_0,{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$, pro které platí

$-||{\mathbf{e}}_0|{|}^2=||{\mathbf{e}}_1|{|}^2=||{\mathbf{e}}_2|{|}^2=||{\mathbf{e}}_3|{|}^2=1.$

Tuto podmínku lze stručně zapsat jako

$⟨{\mathbf{e}}_{\mu },{\mathbf{e}}_{\nu }⟩={\eta }_{\mu \nu },$

kde $\eta$ je diagonální matice

$\eta =\mathrm{diag}(-1,1,1,1)=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

Související články

• Vektorový prostor
• Čtyřvektor
• Lorentzova transformace

Externí odkazy

• Minkowského prostor v encyklopedii MathWorld (anglicky)

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii