Hyperbolometrická funkce

Z Multimediaexpo.cz

Hyperbolometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím hyperbolickým. Jedná se o funkce argument hyperbolického sinu (argsinh x), argument hyperbolického kosinu (argcosh x), argument hyperbolického tangens (argtanh x) a argument hyperbolického kotangens (argcoth x).

Obsah 1 Argument hyperbolického sinu (argsinh x) 1.1 Definiční obor 1.2 Obor hodnot 1.3 Parita 1.4 Identita 2 Argument hyperbolického kosinu (argcosh x) 2.1 Definiční obor 2.2 Obor hodnot 2.3 Parita 2.4 Identita 3 Argument hyperbolického tangens (argtanh x) 3.1 Definiční obor 3.2 Obor hodnot 3.3 Parita 3.4 Identita 4 Argument hyperbolického kotangens (argcoth x) 4.1 Definiční obor 4.2 Obor hodnot 4.3 Parita 4.4 Identita 5 Identity 6 Derivace 7 Integrál 8 Externí odkazy

Argument hyperbolického sinu (argsinh x)

Funkce \(y=\arg\sinh x\)

Definiční obor

\( x \in \mathbb{R}\)

Obor hodnot

\( y \in \mathbb{R}\)

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

\(\arg\sinh x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)

Argument hyperbolického kosinu (argcosh x)

Funkce \(y=\arg\cosh x\)

Definiční obor

\(1 \le x <\infty\)

Obor hodnot

\(0 \le y <\infty\)

Parita

Ani lichá ani sudá

Identita

\(\arg\cosh x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\)

Argument hyperbolického tangens (argtanh x)

Funkce \(y=\arg\tanh x\)

Definiční obor

\(-1 < x <1\) resp. \(|x|<1\)

Obor hodnot

\( y \in \mathbb{R}\)

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

\(\arg\tanh x=\frac{1}{2} \ln\frac{1+x}{1-x}\)

Argument hyperbolického kotangens (argcoth x)

Funkce \(y=\arg\coth x\)

Definiční obor

\(|x|>1\)

Obor hodnot

\(y=\mathbb{R}-\{0\}\)

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

\(\arg\coth x=\frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}\)

Identity

\(\arg\sinh x\)	\(=\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ \ \ (x \ge 0)\)
	\(=-\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ (x < 0)\)
	\(=\arg\tanh \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)

\(\arg\cosh x=\arg\sinh \sqrt{x^2-1}=\arg\tanh \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\ \ \ \ \ (x \ge 0)\)

\(\arg\tanh x=\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (x \ge 0)\)

\(\arg\tanh x\)	x|<1)\)
	\(=\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (0\le x < 1)\)
	\(=-\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (-1< x \le 0)\)
	\(=\arg\coth \frac{1}{x}\ \ \ \ \ (-1< x < 1,x \not= 0)\)

\(\arg\coth x\)	\(=\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)\)
	\(=-\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x < -1)\)
	\(=\arg\cosh \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x > 1)\)
	x|>1)\)

\(\arg\sinh x\pm \arg\sinh y=\arg\sinh (x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2})\)

\(\arg\cosh x\pm \arg\cosh y=\arg\cosh (xy \pm \sqrt{(1+x^2)(y^2-1)})\ \ \ \ \ (x\ge1,y\ge1)\)

\(\arg\tanh x\pm \arg\tanh y=\arg\tanh \frac{x\pm y}{1\pm xy}\ \ \ \ \ (|x|<1,|y|<1)\)

Derivace

\((\arg\sinh x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

\((\arg\cosh x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)\)

\((\arg\tanh x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|<1)\)

\((\arg\coth x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|>1)\)

Integrál

\(\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}{\rm d}x=\arg\sinh x+C\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}{\rm d}x=\arg\cosh x+C\ \ \ \ \ (x>1)\)

\(\int \frac{1}{1-x^2}{\rm d}x\)	x| < 1)\)
	x| > 1)\)

Externí odkazy

• Mathworld.wolfram.com – Inverse Hyperbolic Functions (anglicky)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii