Eulerova rovnost

Z Multimediaexpo.cz

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy.

Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením ($e^{i\pi }+1=0$) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Obsah [skrýt] 1 Znění 2 Elegantnost vyjádření 3 Odvození 4 Zobecnění 5 Související články

Znění

Eulerova rovnost je vzorec $e^{i\pi }+1=0$ , kde

• e je Eulerovo číslo
• i je imaginární jednotka
• π je Ludolfovo číslo

Elegantnost vyjádření

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

Odvození

Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného Eulerova vzorce, který říká

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

$x=\pi ,$

dostaneme

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .$

Protože

$\cos \pi =-1$

a

$\sin \pi =0,$

vyplývá odtud

$e^{i\pi }=-1$

a převedením na druhou stranu

$e^{i\pi }+1=0.$

Zobecnění

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{2\pi ik/n}=0.$

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

Související články

• Komplexní analýza
• Eulerův vzorec
• Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii