Carmichaelova funkce

Z Multimediaexpo.cz

Carmichaelova funkce, pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi (1879–1967) , je funkce z oboru teorie čísel značená λ(n), která pro přirozené číslo n vrátí nejmenší m takové, že

$a^m\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

pro všechna přirozená čísla a menší než n a nesoudělná s n. Tedy vrátí exponent multiplikativní grupy celých čísel modulo n.

Prvních 26 hodnoto této funkce pro n = 1, 2, 3 … je 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4, 4, 16, 6, 18, 4, 6, 10, 22, 2, 20, 12, …^[1]

Carmichaelova věta

Carmichaelova věta říká, že Carmichaelovu funkci lze definovat se stejným výsledkem také pomocí rekurze:

Pro prvočíslo p a kladné celé číslo k takové, že p≥3 nebo k≤2 definujeme

$\lambda (p^k)=p^{k-1}(p-1).$,

co zároveň odpovídá hodnotě Eulerovy funkce.

Pro celá čísla k≥3 definujeme

$\lambda (2^k)=2^{k-2}$

a pro různá prvočísla $p_1,p_2,\dots ,p_t$ a kladná celá čísla $k_1,k_2,\dots ,k_t$ definujeme

$\lambda (p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_t^{k_t})=\mathrm{NSN}(\lambda (p_1^{k_1}),\lambda (p_2^{k_2}),\dots ,\lambda (p_t^{k_t}))$

kde $\mathrm{NSN}$ značí nejmenší společný násobek.

Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky Malé Fermatovy věty a Eulerovy věty.

Reference

1. ↑ tato posloupnost má v OEIS kód A002322

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii