Banachův prostor

Z Multimediaexpo.cz

Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy.

Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha (* březen 1892, † srpen 1945), který je studoval.

Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor \(V\) nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou \(\|\cdot\|\), ve kterém má každá cauchyovská posloupnost v indukované metrice \(d(x,y) = \|x - y\|\) limitu.

Prostory \(\mathbb{R}^n\) a \(\mathbb{C}^n\) (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory \(\mathbb{R}^n\) a \(\mathbb{C}^n\) eukleidovskou normou

\(\|x\| := \sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2}\),

pro \(x = (x_1, \ldots ,x_n)\), budou dokonce Hilbertovy.

Prostor všech spojitých funkcí \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) opatřený normou

\(\|f\|_\infty := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|\)

je Banachův.

\(\|f\|_1 :=\int_a^b |f(t)|dt\) nebo \(\|f\|_2 :=\sqrt{\int_a^b |f(t)|^2dt}\),

Banachův již nebude.

Jestliže X je normovaný lineární prostor a Y je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z X do Y s normou

\(\|A\| := \sup\{\|Ax\|: x\in X, \|x\|\leq 1\}\)

je Banachův prostor. Speciálně duální prostor X* k prostoru X je vždy Banachův, neboť v takovém případě \(Y=\mathbb{C}\).

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Banachův prostor

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii