Heavisideova funkce

Z Multimediaexpo.cz

Heavisideova funkce (také jednotkový skok) je nespojitá funkce, jejíž hodnota je nulová pro zápornou hodnotu argumentu a rovna jedné pro kladnou hodnotu argumentu. Hodnota funkce pro nulový argument není podstatná a proto je různými autory definována odlišně (viz níže).

Často se používá v teorii řízení a při zpracování signálu, kde slouží k reprezentaci jednorázové změny signálu. Pojmenována byla po anglickém učenci Oliveru Heavisideovi.

Obsah [skrýt] 1 Definice 1.1 Hodnota v nule 2 Vlastnosti 3 Související články 4 Externí odkazy

Definice

Heavisidova funkce (s parametrem p) se definuje předpisem:

$H_p(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ pro }x<0\\ p& \text{ pro }x=0\\ 1& \text{ pro }x>0\end{array}$,

kde 0 ≤ p ≤ 1 je reálné číslo určující hodnotu funkce v bodě 0 (platí $p=H_p(0)$).

Index p je většinou volen pevně a v zápise se vynechává. Heavisidova funkce se potom značí pouze H(x).

Hodnota v nule

Parametr $p$ z definice funkce se nejčastěji volí jako 0, 1/2 nebo 1. Pro hodnotu 1/2 svědčí symetrie výsledné funkce a fakt, že hodnota zpětné transformace Fourierova obrazu funkce v bodech nespojitosti je aritmetický průměr limit zleva a zprava. Důvodem jiné volby může být praktičnost při jistých způsobech použití. V mnoha případech na hodnotě v nule vůbec nezáleží, např. integrujeme-li složený výraz s touto funkcí, neboť Lebesgueova míra množiny $\{0\}$ je nulová.

Nastavíme-li $p=H(0)=1/2$, můžeme definovat funkci pomocí znaménkové funkce (signum):

$H(x)=\frac{1+sgn(x)}{2}$

Pro případ, kdy $p=1$ nebo $p=0$ můžeme též chápat Heavisideovu funkci takto: $H_1={\chi }_{⟨0,\mathrm{\infty })}$ respektive $H_0={\chi }_{(0,\mathrm{\infty })}$ kde ${\chi }_M$ značí charakteristickou funkci množiny $M$.

Vlastnosti

Mezi jednotkovým skokem a Diracovou funkcí existuje vztah, který lze zapsat jako

$H(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\delta (t)\mathrm{d}t$

Derivací Heavisideovy funkce je tedy Diracova delta funkce, primitivní funkcí je tzv. náběhová funkce.

Související články

• Diracovo delta
• Macaulayova závorka
• Náběhová funkce

Externí odkazy

• MathWorld, Heaviside Step Function: Mathworld.wolfram.com (anglicky)
• MathWorks, Heaviside: Mathworks.com (anglicky)

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii