Binomická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru $x^n-a=0$ s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.

Řešení binomické rovnice

Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
$\left|x^n\right|(\cos n\phi +\text{i}\sin n\phi )=|a|(\cos \omega +\text{i}\sin \omega );x,a\in \mathbb{C},n\in \mathbb{N}$

Úhel $\omega$ komplexní číslo $a$ s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé $x$

$|x|=\sqrt[n]{|a|}$

Porovnáním úhlů a odvozením řešení je

$\begin{array}{rcl}\cos n\phi & =& \cos \omega \\ n\phi & =& \omega +2k\pi \\ \phi & =& {\displaystyle \frac{\omega +2k\pi }{n}}\end{array}$

Diskuse

V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu $\omega$. Pokud je číslo $a$ kladné reálné, poté uvažujeme úhel $\omega =0$. Naopak, když je $a$ reálné záporné, uvažujeme úhel $\omega =\pi$. Pokud uvažujeme, že $a$ má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:

Řešení

Binomická rovnice má celkem $n$ řešení. Při jejich hledání se za koeficient $k$ dosazují postupně hodnoty množiny $\{0;1;\cdots ;n-1\}$. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného $n$-úhelníka. Samotné řešení je

1. možnost $\omega =0$

$x_{1,2,\cdots ,n}=\sqrt[n]{|a|}[\cos \left(\frac{2k\pi }{n}\right)+\text{i}\sin \left(\frac{2k\pi }{n}\right)]$

2. možnost $\omega =\pi$

$x_{1,2,\cdots ,n}=\sqrt[n]{|a|}[\cos \left(\frac{2k\pi +\pi }{n}\right)+\text{i}\sin \left(\frac{2k\pi +\pi }{n}\right)]$

3. možnost neurčitého $\omega$ a komplexního $a$

$x_{1,2,\cdots ,n}=\sqrt[n]{|a|}[\cos \left(\frac{2k\pi +\omega }{n}\right)+\text{i}\sin \left(\frac{2k\pi +\omega }{n}\right)]$

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii