Abelova sumace

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 14. 8. 2022, 14:26; Sysop (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)

V matematice je Abelova sumace, pojmenovaná po norském matematikovi Nielsi Henriku Abelovi (1802–1829), přepisem n-tého členu posloupnosti na rozdíl dvou po sobě jdoucích členech součtové řady dané touto posloupností.

Definice

Mějme dvě posloupnosti $(a_{n})$ a $(b_{n})$ , kde n=1,2,3,... a definujme $A_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ .
Tedy $a_{k} = A_{k} - A_{k - 1}$

Potom
$\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} = \sum_{k = 1}^{n} (A_{k} - A_{k - 1}) b_{k} =$

$= \sum_{k = 1}^{n} A_{k} b_{k} - \sum_{k = 1}^{n} A_{k - 1} b_{k} = \sum_{k = 1}^{n} A_{k} b_{k} - \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k} b_{k + 1}$

A protože $A_{0} = 0$ , tak můžeme druhou sumu indexovat od jedničky.

$\sum_{k = 1}^{n} A_{k} b_{k} - \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} b_{k + 1} = \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} (b_{k} - b_{k + 1}) + A_{n} b_{n}$

Což je výsledek.

Použití

Abelovy sumace se používá zejména v matematických důkazech, když potřebujeme upravit součin dvou posloupností. Využíváme jí např. při důkazech kriterií konvergence součtové řady - Dirichletovo a Abelovo kriterium.

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii