V pondělí 16. září 2024 začala naše další
nová soutěž o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte rychle soutěžit o lákavé ceny !!

Eulerova–Lagrangeova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 7. 7. 2020, 13:30; Sysop (diskuse | příspěvky)
(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)

Eulerova-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferenciální rovnici umožňující nalezení extrému funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a v mechanice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.

Obsah

Popis problému optimalizace

Je zadána tzv. Lagrangeova funkce (lagrangián) F tří proměnných, která má spojité první parciální derivace, do níž je dosazena funkce y(x),

<math> F \left( x, y(x), y'(x) \right) </math>.

Aby funkce y(x) představovala extremálu následujícího funkcionálu J,

<math> J = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x </math>,

musí funkce y(x) být řešením následující obyčejné diferenciální rovnice zvané Eulerova-Lagrangeova rovnice.

<math> \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0 </math>

Příklad: „Nejlevnější cesta“

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

<math> J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x </math>
<math> y(0) = 0 </math>
<math> y(1) = 1 </math>

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů <math>[x;y(x)]</math>) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný určitý integrál, který závisí na této křivce, byl minimální.
Lze si také představit, že funkce <math>F(x,y,y') = y'^2+12xy</math> představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce F do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici (lineární nehomogenní 2. řádu).

<math> 12x - 2y = 0 </math>

Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:

<math> y = 6x </math>,
<math> y' = 3x^2 + c_1 </math>,
<math> y = x^3 + c_1 x + c_2 </math>.

Hodnotu integračních konstant c1 a c2 vypočteme z okrajových podmínek <math> y(0) = 0 </math> a <math> y(1) = 1 </math> a získáme tak hledanou funkci <math> y(x) </math>.

<math> c_1 = 0 </math>
<math> c_2 = 0 </math>
<math> y(x) = x^3 </math>

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://www1fdc.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Eulerova%E2%80%93Lagrangeova_rovnice“