Střední hodnota

Z Multimediaexpo.cz

Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá populační průměr.

Střední hodnota náhodné veličiny <math>X</math> se značí <math>\operatorname{E}X</math>, <math>\operatorname{E}(X)</math> nebo také <math>\langle X\rangle</math>.

Obsah 1 Definice 2 Vlastnosti 3 Příklady 3.1 Diskrétní náhodná veličina 3.2 Spojitá náhodná veličina 4 Související články

Definice

Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jako vážený průměr daného rozdělení. V řeči teorie míry se jedná o hodnotu

<math>\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x)</math>,

kde <math>P</math> je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny <math>X</math>. Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

• Má-li náhodná veličina <math>X</math> spojité rozdělení s hustotou rozdělení <math>f(x)</math>, pak

<math>\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x</math>.

• Má-li náhodná veličina <math>X</math> diskrétní rozdělení kde <math>P[X=s_{i}]=p_{i}</math> pro <math>i \in I</math> nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak

<math>\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}</math>

Vlastnosti

Střední hodnota konstanty <math>c</math> je

<math>\operatorname{E}(c)=c</math>

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny <math>X</math> a konstanty <math>c</math> platí

<math>\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)</math>

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin <math>X, Y</math> je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

<math>\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)</math>

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny <math>X, Y</math> je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

<math>\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)</math>

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!

Příklady

Diskrétní náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x. Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.

Související články

• Rozptyl (statistika)
• Charakteristika náhodné veličiny

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii